Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung

Oberstufe

\mu = n \cdot p,\quad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}

Voraussetzung: $X$ $binomialverteilt$ $,$ $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1,$ $0 \leq p \leq 1$

$\mu$: Erwartungswert E(X) der Trefferzahl
$\sigma$: Standardabweichung der Trefferzahl, Wurzel aus der Varianz V(X)
$n$: Länge der Bernoulli-Kette
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch
$1-p$: Nietenwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch

Für eine binomialverteilte Trefferzahl gilt μ = n · p und σ = √(n · p · (1 − p)).

Erklärung

Ist die Trefferzahl $X$ binomialverteilt mit $n$ Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit $p$ , muss man Erwartungswert und Standardabweichung nicht über die allgemeinen Summenformeln berechnen. Es gilt einfach:

\mu = E(X) = n \cdot p \qquad V(X) = n \cdot p \cdot (1-p) \qquad \sigma = \sqrt{V(X)}

$\mu = n \cdot p$ ist anschaulich: Bei $n$ Versuchen mit je Trefferwahrscheinlichkeit $p$ erwartet man im Mittel $n \cdot p$ Treffer. $\mu$ muss keine ganze Zahl sein.

$\sigma$ beschreibt, wie weit die Trefferzahl typischerweise von $\mu$ abweicht. Für $p$ nahe $0$ oder $1$ ist die Streuung klein, am größten ist sie bei $p = 0{,}5$ .

Für Abschätzungen nutzt man die Sigma-Regeln: Ist $\sigma > 3$ (Laplace-Bedingung), liegt $X$ mit grob 68 % Wahrscheinlichkeit im Intervall $[\mu - \sigma;\ \mu + \sigma]$ . Das ist nur eine Faustregel; der exakte Wert hängt von $n$ und $p$ ab.

Beispiele

Ein Würfel wird $100$ -mal geworfen, $X$ ist die Anzahl der Sechsen ( $n = 100$ , $p = \frac{1}{6}$ ):

\mu = 100 \cdot \frac{1}{6} \approx 16{,}67 \qquad \sigma = \sqrt{100 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} \approx \sqrt{13{,}89} \approx 3{,}73

Weil $\sigma \approx 3{,}73 > 3$ ist, gilt die Sigma-Regel: Die Anzahl der Sechsen liegt mit grob 68 % Wahrscheinlichkeit zwischen $16{,}67 - 3{,}73 \approx 12{,}94$ und $16{,}67 + 3{,}73 \approx 20{,}39$ , also bei $13$ bis $20$ Sechsen. Exakt mit der Binomialverteilung berechnet ist $P(13 \leq X \leq 20) \approx 0{,}718$ , also etwa 72 %.

Eine Fluggesellschaft hat $200$ Buchungen, jeder Fluggast erscheint mit Wahrscheinlichkeit $0{,}08$ nicht. Für die Anzahl der Nichterscheinenden gilt (unter der Annahme, dass die Fluggäste unabhängig voneinander handeln):

\mu = 200 \cdot 0{,}08 = 16 \qquad \sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92} = \sqrt{14{,}72} \approx 3{,}84

Typische Fehler

Die Wurzel vergessen: $n \cdot p \cdot (1-p)$ ist die Varianz, nicht die Standardabweichung. Im Würfelbeispiel wäre $13{,}89$ statt $3{,}73$ falsch.
$p$ und $1 - p$ verwechseln, etwa im Flugbeispiel $\mu = 200 \cdot 0{,}92$ rechnen. Das ist die erwartete Zahl der Erscheinenden, nicht der Nichterscheinenden.
Die Formeln auf Zufallsgrößen anwenden, die nicht binomialverteilt sind, z.B. auf eine Augenzahl oder beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Urne.
Die Sigma-Regeln ohne Prüfung von $\sigma > 3$ verwenden. Bei kleinem $\sigma$ sind die Näherungen ungenau.

Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung