Gewichtetes Mittel

Mittelstufe

\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}

Voraussetzung: $w_1, \ldots, w_n \geq 0,$ $w_1 + \ldots + w_n > 0$

$\bar{x}_w$: gewichtetes Mittel
$x_1, \ldots, x_n$: die Werte, z.B. Noten oder Mittelwerte von Gruppen
$w_1, \ldots, w_n$: die Gewichte, z.B. wie oft ein Wert zählt oder wie groß eine Gruppe ist
$n$: Anzahl der Werte

Beim gewichteten Mittel zählt jeder Wert so oft, wie sein Gewicht angibt; geteilt wird durch die Summe der Gewichte.

Erklärung

Beim gewöhnlichen Mittelwert zählt jeder Wert gleich viel. Beim gewichteten Mittel bekommt jeder Wert $x_i$ ein Gewicht $w_i$ , das angibt, wie stark er zählt. Man multipliziert jeden Wert mit seinem Gewicht, addiert alles und teilt durch die Summe der Gewichte.

Typische Anwendungen:

Noten, bei denen Klassenarbeiten doppelt zählen.
Den Gesamtmittelwert mehrerer Gruppen unterschiedlicher Größe, gewichtet mit der Gruppengröße.
Mittelwerte aus einer Häufigkeitstabelle, gewichtet mit der Häufigkeit.

Sind die Gewichte Anteile, die zusammen $1$ (oder $100\,\%$ ) ergeben, ist der Nenner $1$ und fällt weg. Sind alle Gewichte gleich, erhält man den gewöhnlichen Mittelwert.

Beispiele

Klassenarbeiten zählen doppelt, mündliche Noten einfach. Jemand hat die Arbeitsnoten $2$ und $3$ und die mündliche Note $1$ :

\bar{x}_w = \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1}{2 + 2 + 1} = \frac{11}{5} = 2{,}2

Ohne Gewichtung käme $\frac{2 + 3 + 1}{3} = 2$ heraus.

Klasse A hat $24$ Kinder mit Notenschnitt $2{,}5$ , Klasse B $26$ Kinder mit Schnitt $3{,}0$ . Der Schnitt aller $50$ Kinder ist

\bar{x}_w = \frac{24 \cdot 2{,}5 + 26 \cdot 3{,}0}{24 + 26} = \frac{138}{50} = 2{,}76

Zählt die schriftliche Note $60\,\%$ und die mündliche $40\,\%$ , ergibt sich bei schriftlich $2$ und mündlich $4$ : $0{,}6 \cdot 2 + 0{,}4 \cdot 4 = 2{,}8$ .

Typische Fehler

Durch die Anzahl der Werte statt durch die Summe der Gewichte teilen. Im ersten Beispiel ist der Nenner $5$ , nicht $3$ .
Mittelwerte von Gruppen einfach mitteln. $\frac{2{,}5 + 3{,}0}{2} = 2{,}75$ ist falsch, wenn die Gruppen verschieden groß sind.
Gewichte und Werte vertauschen.

Gewichtetes Mittel