Standardfehler des Mittelwerts

Studium

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \qquad \text{geschätzt: } \ \mathrm{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}}

Voraussetzung: $X_1, \ldots, X_n$ $unabhängig mit gleicher Standardabweichung$ $\sigma,$ $n \geq 1$

$\sigma_{\bar{X}}$: Standardabweichung des Stichprobenmittels
$\sigma$: Standardabweichung eines einzelnen Messwerts
$n$: Stichprobenumfang
$s$: korrigierte Standardabweichung der Stichprobe als Schätzung für σ
$\mathrm{SE}$: geschätzter Standardfehler

Der Standardfehler gibt an, wie stark der Mittelwert einer Stichprobe vom Umfang n um den wahren Erwartungswert schwankt.

Erklärung

Einzelne Messwerte streuen mit der Standardabweichung $\sigma$ . Der Mittelwert aus $n$ unabhängigen Messungen streut deutlich weniger. Weil sich bei unabhängigen Summanden die Varianzen addieren, gilt

V(\bar{X}) = V\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}

Die Wurzel daraus ist der Standardfehler $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Da $\sigma$ meist unbekannt ist, setzt man die Stichprobenstandardabweichung $s$ ein.

Folgerungen:

Die Genauigkeit wächst nur mit $\sqrt{n}$ . Für einen halb so großen Standardfehler braucht man die vierfache Stichprobe.
Der Standardfehler ist die Grundlage von Konfidenzintervallen ( $\bar{x} \pm t \cdot \mathrm{SE}$ ) und t-Tests.
Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist $\bar{X}$ für großes $n$ näherungsweise normalverteilt mit Standardabweichung $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , auch wenn die Einzelwerte es nicht sind.

Beispiele

Körpergrößen streuen mit $s = 12\,\text{cm}$ . Bei $n = 36$ Personen ist

\mathrm{SE} = \frac{12}{\sqrt{36}} = 2\,\text{cm}

Für $\mathrm{SE} = 1\,\text{cm}$ braucht man $n = 4 \cdot 36 = 144$ Personen, denn $\frac{12}{\sqrt{144}} = 1$ .

Zehn Messungen einer Pendeldauer haben $s = 0{,}8\,\text{ms}$ . Der Standardfehler des Mittelwerts ist $\frac{0{,}8}{\sqrt{10}} \approx 0{,}253\,\text{ms}$ .

Liegt der Mittelwert eines Tests bei $50$ Punkten mit $\mathrm{SE} = 2$ , dann umfasst der Bereich $\bar{x} \pm 2 \cdot \mathrm{SE}$ die Werte von $46$ bis $54$ , grob ein $95\,\%$ -Konfidenzintervall bei großem $n$ .

Typische Fehler

Standardfehler und Standardabweichung verwechseln. $s$ beschreibt die Streuung der Einzelwerte, $\mathrm{SE}$ die Unsicherheit des Mittelwerts.
Durch $n$ statt durch $\sqrt{n}$ teilen. Dann wirkt die Schätzung viel genauer, als sie ist.
Die Formel bei abhängigen Messungen (z.B. Zeitreihen, Klumpenstichproben) verwenden. Dann ist der Standardfehler meist größer.

Standardfehler des Mittelwerts