Notwendiger Stichprobenumfang

Oberstufe

n \geq \frac{z^2 \cdot p\,(1 - p)}{d^2}

Voraussetzung: $d > 0,$ $0 \leq p \leq 1;$ $ohne Vorwissen über$ $p$ $setzt man$ $p = 0{,}5$

$n$: notwendiger Stichprobenumfang
$z$: Faktor zum Konfidenzniveau, z.B. 1,96 für 95 %
$p$: (geschätzter) Anteil in der Grundgesamtheit
$d$: gewünschte Genauigkeit, halbe Breite des Konfidenzintervalls

Mindestgröße einer Stichprobe, damit ein Konfidenzintervall für einen Anteil höchstens die halbe Breite d hat.

Erklärung

Bevor man eine Umfrage oder Messreihe durchführt, will man wissen, wie groß die Stichprobe sein muss, damit das Ergebnis genau genug ist. Die gewünschte Genauigkeit $d$ ist der Radius (die halbe Breite) des Konfidenzintervalls.

Für einen Anteil hat das Konfidenzintervall den Radius $z \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ . Die Forderung

z \cdot \sqrt{\frac{p\,(1-p)}{n}} \leq d

löst man nach $n$ auf und erhält die Formel. Das Ergebnis wird immer aufgerundet. Die Formel nutzt die Normalverteilungsnäherung und setzt voraus, dass $n p$ und $n(1-p)$ nicht zu klein sind (Faustregel: beide mindestens $10$ ).

Der Anteil $p$ ist vor der Umfrage unbekannt. Hat man eine Vorabschätzung (z.B. aus einer früheren Umfrage), setzt man sie ein. Sonst nimmt man den ungünstigsten Fall $p = 0{,}5$ , denn $p(1-p)$ ist dort am größten ( $\frac{1}{4}$ ). Dann gilt einfach $n \geq \left(\frac{z}{2d}\right)^2$ .

Für einen Mittelwert mit bekannter (oder geschätzter) Standardabweichung $\sigma$ lautet die entsprechende Formel

n \geq \left(\frac{z \cdot \sigma}{d}\right)^2

Die nötige Stichprobe wächst mit dem Quadrat der Genauigkeit: Halbe Fehlerspanne bedeutet vierfachen Umfang.

Beispiele

Ein Meinungsforschungsinstitut möchte einen Stimmenanteil mit $95\,\%$ Sicherheit auf $\pm 3$ Prozentpunkte genau bestimmen. Ohne Vorwissen ( $p = 0{,}5$ ):

n \geq \frac{1{,}96^2 \cdot 0{,}25}{0{,}03^2} \approx 1067{,}1 \quad \Rightarrow \quad n = 1068

Ist aus früheren Umfragen bekannt, dass der Anteil bei etwa $20\,\%$ liegt:

n \geq \frac{1{,}96^2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8}{0{,}03^2} \approx 682{,}95 \quad \Rightarrow \quad n = 683

Für $\pm 1{,}5$ Prozentpunkte statt $\pm 3$ bräuchte man den vierfachen Umfang.

Mittelwert: Ein IQ-Test hat $\sigma = 15$ . Um den mittleren IQ einer Gruppe mit $95\,\%$ Sicherheit auf $\pm 2$ Punkte genau zu schätzen:

n \geq \left(\frac{1{,}96 \cdot 15}{2}\right)^2 = 216{,}09 \quad \Rightarrow \quad n = 217

Typische Fehler

Abrunden statt aufrunden. Mit $1067$ Befragten wird die Genauigkeit knapp verfehlt.
Die volle Breite des Intervalls für $d$ einsetzen. $d$ ist die halbe Breite, also der Abstand vom Schätzwert zur Grenze.
Prozentpunkte als Prozent einsetzen: $\pm 3$ Prozentpunkte bedeutet $d = 0{,}03$ , nicht $d = 3$ .
Denken, eine doppelte Stichprobe halbiere den Fehler. Dafür braucht man die vierfache Stichprobe.

Notwendiger Stichprobenumfang