Varianz einer Summe

Studium

V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\operatorname{Cov}(X, Y)

Voraussetzung: $E(X^2) < \infty,$ $E(Y^2) < \infty$

$V(X)$: Varianz der Zufallsgröße X, auch Var(X) geschrieben
$X, Y$: Zufallsgrößen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum
$\operatorname{Cov}(X, Y)$: Kovarianz von X und Y

Die Varianz einer Summe ist die Summe der Varianzen plus zweimal die Kovarianz; bei Unabhängigkeit fällt die Kovarianz weg.

Erklärung

Anders als beim Erwartungswert ist die Varianz einer Summe im Allgemeinen nicht die Summe der Varianzen. Es kommt ein Korrekturglied hinzu, das misst, wie $X$ und $Y$ gemeinsam schwanken: die Kovarianz.

Wichtige Spezialfälle und Verallgemeinerungen:

Unabhängig (oder nur unkorreliert): $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$ , also $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ .
Differenz: $V(X - Y) = V(X) + V(Y) - 2\operatorname{Cov}(X, Y)$ . Bei Unabhängigkeit addieren sich die Varianzen auch hier.
Linearkombination: $V(aX + bY) = a^2 V(X) + b^2 V(Y) + 2ab\operatorname{Cov}(X, Y)$ .
Viele Summanden: $V\big(\sum_i X_i\big) = \sum_i V(X_i) + 2\sum_{i<j} \operatorname{Cov}(X_i, X_j)$ .

Herleitung: Mit $\tilde{X} = X - E(X)$ und $\tilde{Y} = Y - E(Y)$ ist $V(X + Y) = E\big[(\tilde{X} + \tilde{Y})^2\big]$ . Ausmultiplizieren nach der binomischen Formel liefert die drei Terme.

Beispiele

Zwei faire Würfel werden unabhängig geworfen. Jeder hat die Varianz $\frac{35}{12}$ , die Augensumme also

V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5{,}83

Zwei Aktienrenditen haben die Varianzen $V(X) = 4$ und $V(Y) = 9$ und die Kovarianz $-3$ (sie bewegen sich eher gegenläufig):

V(X + Y) = 4 + 9 + 2 \cdot (-3) = 7, \qquad V(X - Y) = 4 + 9 - 2 \cdot (-3) = 19

Ein Portfolio aus je einer Hälfte hat die Varianz

V(0{,}5X + 0{,}5Y) = 0{,}25 \cdot 4 + 0{,}25 \cdot 9 + 2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot (-3) = 1{,}75

und schwankt damit weniger als jede Aktie allein (Diversifikation).

Typische Fehler

$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ ohne Unabhängigkeit verwenden.
Bei der Differenz die Varianzen subtrahieren. Für unabhängige $X, Y$ gilt $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$ , nicht $V(X) - V(Y)$ .
Standardabweichungen addieren. Addiert werden die Varianzen; $\sigma_{X+Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$ bei Unabhängigkeit.
Bei $V(2X)$ wie bei $V(X + Y)$ für unabhängige Summanden rechnen. $X$ und $X$ sind vollständig abhängig: $V(2X) = 4V(X)$ , nicht $2V(X)$ .

Varianz einer Summe