Empirische Varianz

Oberstufe

s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2

Voraussetzung: $n \geq 1$

$s^2$: empirische Varianz der Daten
$n$: Anzahl der Datenwerte
$x_i$: der i-te Datenwert
$i$: Laufindex von 1 bis n
$\bar{x}$: arithmetisches Mittel der Daten

Die empirische Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen der Daten von ihrem Mittelwert.

Erklärung

Die Varianz misst, wie stark Daten um ihren Mittelwert $\bar{x}$ streuen. Man berechnet für jeden Wert die Abweichung $x_i - \bar{x}$ , quadriert sie und bildet davon den Mittelwert.

Das Quadrieren ist nötig, weil sich positive und negative Abweichungen sonst genau aufheben: $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$ gilt immer. Außerdem fallen große Abweichungen dadurch stärker ins Gewicht.

Achtung, zwei Varianten:

$s^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ beschreibt die Streuung der vorliegenden Daten selbst. Diese Form steht hier und wird in der Schule meist empirische Varianz genannt.
$s_{n-1}^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2$ (für $n \geq 2$ ) heißt Stichprobenvarianz oder korrigierte Varianz. Man nimmt sie, wenn die Daten eine Stichprobe sind und man damit die Varianz der ganzen Grundgesamtheit schätzen will.

Die Bezeichnungen sind in Büchern und auf Taschenrechnern nicht einheitlich (oft $\sigma_x$ für die $n$ -Variante und $s_x$ für die $(n-1)$ -Variante). Deshalb immer angeben, durch was geteilt wird.

Die Einheit der Varianz ist das Quadrat der Dateneinheit. Eine anschaulichere Größe ist die Standardabweichung $s = \sqrt{s^2}$ .

Oft schneller ist der Verschiebungssatz: Mittelwert der Quadrate minus Quadrat des Mittelwerts,

s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2

Beispiele

An fünf Tagen wartet Ben an der Haltestelle $4$ , $7$ , $5$ , $9$ und $5$ Minuten. Mittelwert:

\bar{x} = \frac{4 + 7 + 5 + 9 + 5}{5} = 6

Die Abweichungen sind $-2, 1, -1, 3, -1$ , ihre Quadrate $4, 1, 1, 9, 1$ mit Summe $16$ :

s^2 = \frac{16}{5} = 3{,}2\,\text{min}^2

Mit dem Verschiebungssatz: $\frac{16 + 49 + 25 + 81 + 25}{5} - 6^2 = 39{,}2 - 36 = 3{,}2$ .

Als Stichprobenvarianz (Teilen durch $n - 1 = 4$ ) ergäbe sich $s_{n-1}^2 = \frac{16}{4} = 4\,\text{min}^2$ .

Typische Fehler

Die Abweichungen nicht quadrieren. Dann ist die Summe immer $0$ .
Durch $n$ oder $n - 1$ teilen, ohne zu sagen, welche Variante gemeint ist. Bei kleinen Datensätzen unterscheiden sich die Ergebnisse deutlich (hier $3{,}2$ gegenüber $4$ ).
Beim Verschiebungssatz die Reihenfolge vertauschen: Es heißt „Mittelwert der Quadrate minus Quadrat des Mittelwerts“, nicht umgekehrt. Das Ergebnis darf nie negativ sein.
Die Varianz mit der Einheit der Daten angeben. Sie hat die quadrierte Einheit, hier $\text{min}^2$ .

Empirische Varianz