Pfadadditionsregel

Mittelstufe

P(E) = P(\text{Pfad}_1) + P(\text{Pfad}_2) + \ldots + P(\text{Pfad}_m)

$E$: Ereignis, das aus mehreren Ergebnissen besteht
$P(E)$: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
$P(\text{Pfad}_1), \ldots, P(\text{Pfad}_m)$: Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu E gehören (jeweils nach der Pfadmultiplikationsregel)
$m$: Anzahl der Pfade, die zu E gehören

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu ihm gehören.

Erklärung

Ein Ereignis besteht oft aus mehreren Ergebnissen, also aus mehreren Pfaden im Baumdiagramm. Die Pfadadditionsregel (2. Pfadregel) sagt: Man berechnet jeden dieser Pfade mit der Pfadmultiplikationsregel und addiert die Ergebnisse.

Vorgehen:

Alle Pfade suchen, die zum Ereignis passen. Auf die Reihenfolge achten.
Jeden Pfad entlang der Äste multiplizieren.
Die Pfadwahrscheinlichkeiten addieren.

Beispiele

Aus einem Beutel mit $3$ roten und $5$ blauen Kugeln zieht man zweimal ohne Zurücklegen. Gesucht ist $P(\text{zwei gleiche Farben})$ . Dazu gehören die Pfade rot-rot und blau-blau:

P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} + \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{6}{56} + \frac{20}{56} = \frac{13}{28} \approx 0{,}464

Für zwei verschiedene Farben gibt es die Pfade rot-blau und blau-rot:

P(\text{verschiedene Farben}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} + \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{28}

Kontrolle: $\frac{13}{28} + \frac{15}{28} = 1$ .

Beim Basketball trifft Lena den ersten Freiwurf mit $0{,}7$ . Nach einem Treffer trifft sie den zweiten mit $0{,}8$ , nach einem Fehlwurf nur mit $0{,}6$ . Genau ein Treffer gelingt auf zwei Pfaden (Treffer-Fehlwurf und Fehlwurf-Treffer):

P(\text{genau ein Treffer}) = 0{,}7 \cdot 0{,}2 + 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}14 + 0{,}18 = 0{,}32

Typische Fehler

Einen Pfad vergessen, vor allem bei „verschiedene Farben“: rot-blau und blau-rot gehören dazu.
Die Pfadwahrscheinlichkeiten multiplizieren statt addieren. Multipliziert wird nur entlang eines Pfades.
Bei vielen passenden Pfaden alles einzeln rechnen, obwohl das Gegenereignis nur wenige Pfade hat. Dann ist $1 - P(\overline{E})$ schneller.

Pfadadditionsregel