Ungleichung von Tschebyscheff

Studium

P\big(|X - \mu| \geq c\big) \leq \frac{\sigma^2}{c^2}

Voraussetzung: $c > 0,$ $\mu = E(X),$ $\sigma^2 = \operatorname{Var}(X) < \infty$

$X$: Zufallsgröße mit beliebiger Verteilung
$\mu$: Erwartungswert von X
$\sigma^2$: Varianz von X
$c$: Mindestabstand vom Erwartungswert

Die Wahrscheinlichkeit, dass X mindestens um c von μ abweicht, ist höchstens σ²/c², für jede Verteilung.

Erklärung

Die Ungleichung von Tschebyscheff (auch Tschebyschow) schätzt ab, wie wahrscheinlich eine große Abweichung vom Erwartungswert ist. Sie braucht nur $\mu$ und $\sigma^2$ , gilt also für jede Verteilung mit endlicher Varianz.

Setzt man $c = k\sigma$ mit $k > 0$ , erhält man die einprägsame Form

P\big(|X - \mu| \geq k\sigma\big) \leq \frac{1}{k^2}

Für $k \leq 1$ ist die Schranke mindestens $1$ und sagt nichts aus. Gleichwertig ist $P(|X - \mu| < c) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{c^2}$ .

Herleitung: Mit dem Indikator des Ereignisses $|X - \mu| \geq c$ gilt $c^2 \cdot \mathbf{1}_{\{|X - \mu| \geq c\}} \leq (X - \mu)^2$ . Erwartungswert bilden liefert $c^2 \cdot P(|X - \mu| \geq c) \leq \sigma^2$ .

Wichtigste Anwendung ist das schwache Gesetz der großen Zahlen: Für die relative Häufigkeit $h_n$ in $n$ unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist $\operatorname{Var}(h_n) = \frac{p(1-p)}{n}$ , also

P\big(|h_n - p| \geq c\big) \leq \frac{p(1-p)}{n c^2} \leq \frac{1}{4 n c^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0

Dabei wurde $p(1-p) \leq 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$ benutzt.

Beispiele

Eine Maschine füllt Packungen mit $\mu = 500\,\text{g}$ und $\sigma = 4\,\text{g}$ , die Verteilung ist unbekannt. Abweichung um mindestens $10\,\text{g}$ :

P\big(|X - 500| \geq 10\big) \leq \frac{4^2}{10^2} = 0{,}16

Mit $k = 2$ liegen höchstens $\frac{1}{2^2} = 25\,\%$ der Werte außerhalb der $2\sigma$ -Umgebung, mit $k = 3$ höchstens $\frac{1}{9} \approx 11{,}1\,\%$ . Bei einer Normalverteilung wären es nur etwa $4{,}6\,\%$ bzw. $0{,}3\,\%$ ; die Schranke ist grob, dafür allgemein.

Münzwurf mit $n = 1000$ : Die relative Häufigkeit weicht nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $\frac{1}{4 \cdot 1000 \cdot 0{,}05^2} = 0{,}1$ um $0{,}05$ oder mehr von $p$ ab.

Typische Fehler

Die Schranke als Näherungswert lesen. $0{,}16$ ist nur eine obere Grenze; die tatsächliche Wahrscheinlichkeit kann viel kleiner sein.
$\sigma$ statt $\sigma^2$ im Zähler einsetzen. Mit $\frac{4}{10^2}$ wäre die Schranke falsch.
Die Ungleichung für $k \leq 1$ anwenden und sich über eine nutzlose Schranke $\geq 1$ wundern.
Die Sigma-Regeln der Normalverteilung auf beliebige Verteilungen übertragen. Ohne Verteilungsannahme gilt nur Tschebyscheff.

Ungleichung von Tschebyscheff