Gegenwahrscheinlichkeit

Erklärung

Das Gegenereignis $\overline{A}$ tritt genau dann ein, wenn $A$ nicht eintritt. $A$ und $\overline{A}$ zusammen decken alle Ergebnisse ab, deshalb gilt $P(A) + P(\overline{A}) = 1$.

Die Formel spart viel Arbeit, wenn das Gegenereignis einfacher zu berechnen ist. Das typische Signal ist das Wort „mindestens einmal“: Das Gegenereignis ist dann „kein einziges Mal“, und dafür gibt es nur einen Pfad im Baumdiagramm.

Beispiele

Die Regenwahrscheinlichkeit für morgen liegt bei 30 %. Dann bleibt es mit $1 - 0{,}3 = 0{,}7$, also 70 %, trocken.

Ein Würfel wird viermal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs. Das Gegenereignis ist „keine Sechs in vier Würfen“:

Wie oft muss man würfeln, damit mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit eine Sechs dabei ist? Gesucht ist das kleinste $n$ mit $1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n \geq 0{,}9$. Probieren ergibt:

• $n = 12$: $1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{12} \approx 0{,}8878$, das reicht noch nicht.
• $n = 13$: $1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \approx 0{,}9065$.

Man muss also mindestens $13$-mal würfeln.

Typische Fehler

• Das falsche Gegenereignis bilden: Das Gegenteil von „mindestens eine Sechs“ ist „keine Sechs“, nicht „höchstens eine Sechs“.
• Das Gegenteil von „genau zwei Treffer“ ist nicht „null Treffer“, sondern „0, 1, 3, 4, … Treffer“. Die Gegenwahrscheinlichkeit hilft nur, wenn das Gegenereignis weniger Fälle hat als das Ereignis.
• „Mindestens eine Sechs in vier Würfen“ als $4 \cdot \frac{1}{6}$ rechnen. Das zählt Würfe mit mehreren Sechsen mehrfach; bei sieben Würfen käme sogar mehr als $1$ heraus.