Sigma-Regeln

Erklärung

Die Sigma-Regeln geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsgröße in einer symmetrischen Umgebung um ihren Erwartungswert liegt, der σ-Umgebung $[\mu - k\sigma;\ \mu + k\sigma]$. So kann man Wahrscheinlichkeiten abschätzen, ohne Tabellen oder lange Rechnungen.

Für eine Normalverteilung gelten die Werte genau (auf drei Stellen gerundet). Für eine Binomialverteilung sind sie Näherungen, die nur brauchbar sind, wenn die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist.

Häufig braucht man auch die umgekehrte Richtung: Welcher Radius gehört zu einer runden Wahrscheinlichkeit?

Gerundet sind die genauen Werte $1{,}645$, $1{,}960$ und $2{,}576$. Diese Faktoren braucht man für Prognose- und Konfidenzintervalle.

Beispiele

Eine faire Münze wird $400$-mal geworfen, $X$ ist die Anzahl „Kopf“. Dann ist $\mu = 400 \cdot 0{,}5 = 200$ und $\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = 10 > 3$. Mit etwa $95{,}4\,\%$ liegt $X$ in der $2\sigma$-Umgebung:

Die Körpergröße in einer Gruppe sei normalverteilt mit $\mu = 170\,\text{cm}$ und $\sigma = 7\,\text{cm}$. Etwa $68{,}3\,\%$ der Personen sind zwischen $163\,\text{cm}$ und $177\,\text{cm}$ groß.

Typische Fehler

• Die Laplace-Bedingung nicht prüfen. Bei $20$ Münzwürfen ist $\sigma = \sqrt{20 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} \approx 2{,}24 < 3$, die Sigma-Regeln sind dann zu ungenau.
• Die Wahrscheinlichkeit auf eine Seite beziehen. $95{,}4\,\%$ gilt für die ganze Umgebung; bei einer Normalverteilung liegen oberhalb von $\mu + 2\sigma$ nur etwa $2{,}3\,\%$.
• $1{,}96\sigma$ und $2\sigma$ durcheinanderbringen: $1{,}96\sigma$ gehört zu genau $95\,\%$, $2\sigma$ zu $95{,}4\,\%$.
• Varianz statt Standardabweichung verwenden. Die Umgebung wird mit $\sigma$ gebildet, nicht mit $\sigma^2$.