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Erwartungswert

Erwartungswert

Oberstufe
E(X)=∑i=1nxi⋅P(X=xi)E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)

Voraussetzung: XX nimmt genau die verschiedenen Werte x1,…,x_1, \ldots, xnx_n an

E(X)E(X)
Erwartungswert der Zufallsgröße X, oft auch μ geschrieben
XX
Zufallsgröße, z.B. Gewinn oder Augenzahl
xix_i
die möglichen Werte von X
P(X=xi)P(X = x_i)
Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert x_i annimmt
nn
Anzahl der möglichen Werte
ii
Laufindex von 1 bis n

Der Erwartungswert ist die Summe aller Werte einer Zufallsgröße, jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet.

Erklärung

Eine Zufallsgröße XX ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu, z.B. einen Gewinn in Euro. Der Erwartungswert E(X)E(X) gibt an, welcher Wert sich auf lange Sicht im Mittel ergibt, wenn man das Experiment sehr oft wiederholt.

Man multipliziert jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiert alles. Der Erwartungswert ist also ein gewichteter Mittelwert: Häufige Werte zählen stärker als seltene. Die Wahrscheinlichkeiten müssen zusammen 11 ergeben.

Ein Glücksspiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns 00 ist.

Beispiele

Augenzahl bei einem fairen Würfel:

E(X)=1⋅16+2⋅16+…+6⋅16=3,5E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \ldots + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3{,}5

Der Wert 3,53{,}5 kann nie gewürfelt werden. Er ist der langfristige Durchschnitt.

An einer Losbude kostet ein Los 11 €. Mit 5 % gewinnt man 1010 €, mit 15 % 22 €, sonst nichts. Der Reingewinn XX (Auszahlung minus Einsatz) ist 99 €, 11 € oder −1-1 €:

E(X)=9⋅0,05+1⋅0,15+(−1)⋅0,8=−0,2E(X) = 9 \cdot 0{,}05 + 1 \cdot 0{,}15 + (-1) \cdot 0{,}8 = -0{,}2

Pro Los verliert man im Mittel 0,200{,}20 €, bei 100100 Losen also etwa 2020 €. Das Spiel ist nicht fair.

Typische Fehler

  • Den Einsatz vergessen. Die mittlere Auszahlung ist 10⋅0,05+2⋅0,15+0⋅0,8=0,810 \cdot 0{,}05 + 2 \cdot 0{,}15 + 0 \cdot 0{,}8 = 0{,}8 €; erst nach Abzug des Einsatzes ergibt sich der Gewinn 0,8−1=−0,20{,}8 - 1 = -0{,}2 €.
  • Die Werte einfach mitteln, ohne mit den Wahrscheinlichkeiten zu gewichten: 9+1−13=3\frac{9 + 1 - 1}{3} = 3 ist falsch.
  • Wahrscheinlichkeiten verwenden, die zusammen nicht 11 ergeben, weil ein Fall vergessen wurde (hier „kein Gewinn“ mit 0,80{,}8).
  • Erwarten, dass der Erwartungswert ein möglicher Wert sein muss. Beim Würfel ist er 3,53{,}5.

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