Linearität des Erwartungswerts

Studium

E(aX + bY + c) = a\,E(X) + b\,E(Y) + c

Voraussetzung: $a, b, c \in \mathbb{R},$ $E(X)$ $und$ $E(Y)$ $existieren$

$E$: Erwartungswert
$X, Y$: Zufallsgrößen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum, nicht unbedingt unabhängig
$a, b, c$: feste reelle Zahlen

Der Erwartungswert einer Linearkombination ist die Linearkombination der Erwartungswerte, auch ohne Unabhängigkeit.

Erklärung

Der Erwartungswert ist linear: Konstante Faktoren lassen sich herausziehen, Summen lassen sich aufteilen, und eine additive Konstante bleibt erhalten. Für beliebig viele Zufallsgrößen gilt entsprechend

E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n)

Die wichtigste Eigenschaft: Dafür ist keine Unabhängigkeit nötig. Das macht die Regel zu einem starken Werkzeug. Man zerlegt eine komplizierte Zufallsgröße in eine Summe einfacher Indikatorvariablen $I_j \in \{0, 1\}$ mit $E(I_j) = P(I_j = 1)$ und addiert deren Erwartungswerte.

Die Regel folgt direkt aus der Definition als (gewichtete) Summe bzw. Integral, weil Summe und Integral linear sind.

Beispiele

Augensumme zweier Würfel: Mit $E(X) = E(Y) = 3{,}5$ folgt ohne Verteilungstabelle

E(X + Y) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7

Ein Spiel zahlt $2X - 3$ Euro, wobei $X$ die Augenzahl eines Würfels ist:

E(2X - 3) = 2 \cdot 3{,}5 - 3 = 4

Erwartungswert der Binomialverteilung: $X = I_1 + \ldots + I_n$ , wobei $I_j = 1$ ist, wenn der $j$ -te Versuch ein Treffer ist. Wegen $E(I_j) = p$ ist $E(X) = n \cdot p$ , z.B. $10 \cdot 0{,}3 = 3$ für $n = 10$ , $p = 0{,}3$ .

Typische Fehler

Die Regel auf Produkte übertragen. $E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)$ gilt nur, wenn $X$ und $Y$ unkorreliert sind, z.B. bei Unabhängigkeit.
Die Regel auf nichtlineare Funktionen übertragen. Beim Würfel ist $E(X^2) = \frac{91}{6} \approx 15{,}17$ , aber $(E(X))^2 = 12{,}25$ . Ebenso ist $E\!\left(\frac{1}{X}\right) \neq \frac{1}{E(X)}$ .
Glauben, für $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ brauche man Unabhängigkeit. Erst bei der Varianz einer Summe spielt die Abhängigkeit eine Rolle.

Linearität des Erwartungswerts