Bedingte Wahrscheinlichkeit

Oberstufe

P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

Voraussetzung: $P(A) > 0$

$P_A(B)$: Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A, auch P(B | A) geschrieben
$A$: Bedingung, das Ereignis, von dem man weiß, dass es eingetreten ist
$B$: Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit gesucht ist
$P(A \cap B)$: Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
$P(A)$: Wahrscheinlichkeit der Bedingung A

Die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A ist P(A ∩ B) geteilt durch P(A).

Erklärung

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$ beantwortet die Frage: Wie wahrscheinlich ist $B$ , wenn man schon weiß, dass $A$ eingetreten ist? In vielen Büchern steht dafür $P(B \mid A)$ , gelesen „P von B unter der Bedingung A“.

Man schränkt dabei die Betrachtung auf die Fälle ein, in denen $A$ eintritt. Darum steht $P(A)$ im Nenner. Die Formel ist nur sinnvoll, wenn $P(A) > 0$ gilt; unter einer unmöglichen Bedingung kann man nichts bedingen.

Umgestellt erhält man die Pfadmultiplikationsregel für zweistufige Baumdiagramme:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)

Im Baumdiagramm stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten an den Ästen der zweiten Stufe.

$A$ und $B$ heißen stochastisch unabhängig, wenn $P_A(B) = P(B)$ gilt, das Wissen über $A$ also nichts an der Wahrscheinlichkeit von $B$ ändert.

Beispiele

Eine Firma befragt $400$ Beschäftigte. $A$ : „fährt mit dem Rad zur Arbeit“, $B$ : „wohnt weniger als 5 km entfernt“.

	$B$	$\overline{B}$	Summe
$A$	$90$	$30$	$120$
$\overline{A}$	$60$	$220$	$280$
Summe	$150$	$250$	$400$

Wie wahrscheinlich wohnt jemand, der Rad fährt, in der Nähe? Mit $P(A \cap B) = \frac{90}{400} = 0{,}225$ und $P(A) = \frac{120}{400} = 0{,}3$ :

P_A(B) = \frac{0{,}225}{0{,}3} = 0{,}75

Direkt in der Tabelle: $\frac{90}{120} = 0{,}75$ .

Umgekehrt gefragt: Wie wahrscheinlich fährt jemand aus der Nähe Rad?

P_B(A) = \frac{90/400}{150/400} = \frac{90}{150} = 0{,}6

Da $P(B) = \frac{150}{400} = 0{,}375 \neq 0{,}75 = P_A(B)$ , sind $A$ und $B$ nicht unabhängig.

Typische Fehler

$P_A(B)$ und $P_B(A)$ verwechseln. Im Beispiel ist $P_A(B) = 0{,}75$ , aber $P_B(A) = 0{,}6$ . Die Bedingung steht im Index bzw. hinter dem senkrechten Strich, und ihre Wahrscheinlichkeit kommt in den Nenner.
Durch die Gesamtzahl statt durch die Bedingung teilen: $\frac{90}{400}$ ist $P(A \cap B)$ , nicht $P_A(B)$ .
„Unter der Bedingung“ und „und“ verwechseln: „Eine zufällig ausgewählte Person fährt Rad und wohnt in der Nähe“ ist $P(A \cap B) = 0{,}225$ . „Ein zufällig ausgewählter Radfahrer wohnt in der Nähe“ ist $P_A(B) = 0{,}75$ , denn hier wird nur unter den Radfahrern ausgewählt.

Bedingte Wahrscheinlichkeit