Variation mit Wiederholung

Mittelstufe

N = n^k

Voraussetzung: $n \geq 1,$ $k \in \mathbb{N}_0$

$N$: Anzahl der Möglichkeiten
$n$: Anzahl der Auswahlmöglichkeiten an jeder Stelle
$k$: Anzahl der Stellen oder Züge

Wer k-mal aus n Möglichkeiten wählt, mit Wiederholung und Reihenfolge, hat n hoch k Möglichkeiten.

Erklärung

Man wählt $k$ -mal hintereinander aus $n$ Möglichkeiten. Dabei gilt:

Mit Wiederholung: Jede Möglichkeit darf mehrfach vorkommen.
Mit Reihenfolge: $1\,2$ und $2\,1$ zählen als verschiedene Ergebnisse.

Für die erste Stelle gibt es $n$ Möglichkeiten, für die zweite wieder $n$ und so weiter. Nach dem Zählprinzip (Produktregel) multipliziert man: $n \cdot n \cdot \ldots \cdot n = n^k$ .

Im Urnenmodell entspricht das dem $k$ -maligen Ziehen mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge.

Beispiele

Eine PIN hat $4$ Stellen, jede Stelle ist eine Ziffer von $0$ bis $9$ :

N = 10^4 = 10\,000

Eine Münze wird $3$ -mal geworfen. Jeder Wurf hat $2$ Ausgänge:

N = 2^3 = 8

Ein Kennzeichen-Teil besteht aus $2$ Buchstaben ( $26$ Möglichkeiten) und danach $2$ Ziffern. Hier sind die Stellen verschieden, man multipliziert die einzelnen Anzahlen:

N = 26^2 \cdot 10^2 = 67\,600

Typische Fehler

Basis und Exponent vertauschen. Bei der PIN ist $4^{10} = 1\,048\,576$ falsch. Die Basis ist die Zahl der Möglichkeiten pro Stelle, der Exponent die Zahl der Stellen.
$n \cdot k$ statt $n^k$ rechnen: $10 \cdot 4 = 40$ ist ebenfalls falsch. Mit jeder weiteren Stelle vervielfacht sich die Anzahl.
Die Formel verwenden, obwohl sich nichts wiederholen darf (z.B. Plätze bei einem Rennen). Dann hilft die Variation ohne Wiederholung.

Variation mit Wiederholung