Näherung von Moivre-Laplace

Oberstufe

P(X \leq k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right), \quad \mu = np,\ \sigma = \sqrt{np(1-p)}

Voraussetzung: $X$ $binomialverteilt mit$ $n$ $und$ $p,$ $\sigma > 3$

$X$: binomialverteilte Zufallsgröße, die Anzahl der Treffer
$k$: obere Grenze für die Trefferzahl
$\Phi$: Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
$\mu$: Erwartungswert der Binomialverteilung
$\sigma$: Standardabweichung der Binomialverteilung
$n$: Länge der Bernoulli-Kette
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit
$0{,}5$: Stetigkeitskorrektur, der halbe Abstand zwischen zwei ganzen Zahlen

Für σ > 3 lassen sich Binomialwahrscheinlichkeiten gut mit der Normalverteilung und der Stetigkeitskorrektur annähern.

Erklärung

Für große $n$ ist die Binomialverteilung mühsam zu berechnen. Ihr Histogramm sieht dann aber fast aus wie eine Glockenkurve. Der Satz von Moivre-Laplace erlaubt es deshalb, Binomialwahrscheinlichkeiten mit der Normalverteilung zu nähern, die denselben Erwartungswert $\mu = np$ und dieselbe Standardabweichung $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ hat.

Die Näherung ist brauchbar, wenn die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist.

Die $+0{,}5$ heißt Stetigkeitskorrektur. Im Histogramm gehört zum Wert $k$ ein Balken von $k - 0{,}5$ bis $k + 0{,}5$ . Damit der Balken bei $k$ voll mitzählt, integriert man bis $k + 0{,}5$ . Weitere Fälle:

$P(a \leq X \leq b) \approx \Phi\left(\frac{b + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right)$
Lokale Näherung für einen einzelnen Wert: $P(X = k) \approx \frac{1}{\sigma} \varphi\left(\frac{k - \mu}{\sigma}\right)$ mit der Dichte $\varphi$ der Standardnormalverteilung.

Heute rechnen Taschenrechner Binomialwahrscheinlichkeiten meist direkt. Die Näherung bleibt wichtig, weil sie die Sigma-Regeln und Konfidenzintervalle begründet.

Beispiele

Eine faire Münze wird $100$ -mal geworfen, $X$ ist die Anzahl „Kopf“. Dann ist $\mu = 100 \cdot 0{,}5 = 50$ und $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = 5 > 3$ . Höchstens $55$ -mal Kopf:

P(X \leq 55) \approx \Phi\left(\frac{55 + 0{,}5 - 50}{5}\right) = \Phi(1{,}1) \approx 0{,}8643

Der exakte Wert ist $0{,}8644$ . Ohne Stetigkeitskorrektur erhielte man nur $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ .

Lokale Näherung für genau $50$ -mal Kopf:

P(X = 50) \approx \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}0798

Exakt ist $\binom{100}{50} \cdot 0{,}5^{100} \approx 0{,}0796$ .

Typische Fehler

Die Laplace-Bedingung nicht prüfen. Bei $20$ Münzwürfen ist $\sigma \approx 2{,}24 < 3$ , die Näherung ist dann zu ungenau.
Die Stetigkeitskorrektur in die falsche Richtung anbringen. Bei $P(X \geq a)$ rechnet man mit $a - 0{,}5$ , bei $P(X \leq b)$ mit $b + 0{,}5$ .
Mit der Varianz $np(1-p)$ statt mit $\sigma$ standardisieren.

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