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Median

Median

Unterstufe
x~={xn+12n ungerade12(xn2+xn2+1)n gerade\tilde{x} = \begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}} & n \text{ ungerade} \\ \frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}\right) & n \text{ gerade} \end{cases}

Voraussetzung: x1≤x2≤…≤xn,x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n, n≥1n \geq 1

x~\tilde{x}
Median, auch Zentralwert genannt
x1,…,xnx_1, \ldots, x_n
die Datenwerte, der Größe nach sortiert
nn
Anzahl der Datenwerte

Der Median ist der Wert in der Mitte der der Größe nach sortierten Daten.

Erklärung

Der Median (auch Zentralwert) ist der Wert, der genau in der Mitte liegt, wenn man alle Daten der Größe nach ordnet. Die eine Hälfte der Werte ist höchstens so groß, die andere Hälfte mindestens so groß.

So findet man ihn:

  1. Die Werte der Größe nach sortieren (Rangliste).
  2. Bei einer ungeraden Anzahl ist der Median der Wert in der Mitte, also der Wert an Platz n+12\frac{n+1}{2}.
  3. Bei einer geraden Anzahl gibt es zwei mittlere Werte. Der Median ist ihr Mittelwert.

Der Median hat einen großen Vorteil gegenüber dem Durchschnitt: Einzelne sehr große oder sehr kleine Werte (Ausreißer) verändern ihn kaum.

Beispiele

Die Werte 3,8,5,1,93, 8, 5, 1, 9 werden sortiert: 1,3,5,8,91, 3, 5, 8, 9. Es sind n=5n = 5 Werte, die Mitte ist Platz 5+12=3\frac{5+1}{2} = 3:

x~=x3=5\tilde{x} = x_3 = 5

Der Durchschnitt wäre hier 3+8+5+1+95=5,2\frac{3 + 8 + 5 + 1 + 9}{5} = 5{,}2.

Bei den sortierten Werten 2,4,7,102, 4, 7, 10 ist n=4n = 4 gerade. Die beiden mittleren Werte sind 44 und 77:

x~=4+72=5,5\tilde{x} = \frac{4 + 7}{2} = 5{,}5

Ausreißer: Bei 1,3,5,8,901, 3, 5, 8, 90 bleibt der Median 55. Der Durchschnitt springt dagegen auf 1+3+5+8+905=21,4\frac{1 + 3 + 5 + 8 + 90}{5} = 21{,}4.

Typische Fehler

  • Die Werte nicht sortieren. Bei 3,8,5,1,93, 8, 5, 1, 9 steht zwar die 55 in der Mitte, das ist aber Zufall. Ohne Sortieren erhält man meist einen falschen Wert.
  • Bei gerader Anzahl einfach einen der beiden mittleren Werte nehmen. Richtig ist ihr Mittelwert.
  • Den Platz n+12\frac{n+1}{2} mit dem Median verwechseln. Der Platz ist 33, der Median ist der Wert auf diesem Platz.
  • Doppelte Werte nur einmal aufschreiben. Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

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