Korrelationskoeffizient nach Pearson

Studium

r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}

Voraussetzung: $n \geq 2,$ $nicht alle$ $x_i$ $gleich$ $,$ $nicht alle$ $y_i$ $gleich$

$r$: empirischer Korrelationskoeffizient, zwischen −1 und 1
$(x_i, y_i)$: die Datenpaare
$\bar{x}, \bar{y}$: arithmetische Mittel der x- und der y-Werte
$n$: Anzahl der Datenpaare
$i$: Laufindex von 1 bis n

Der Korrelationskoeffizient r misst Stärke und Richtung eines linearen Zusammenhangs, mit Werten von −1 bis 1.

Erklärung

Für $n$ Datenpaare $(x_i, y_i)$ misst $r$ , wie gut die Punkte auf einer Geraden liegen. Der Zähler ist (bis auf den Faktor $\frac{1}{n-1}$ ) die empirische Kovarianz, der Nenner das Produkt der Standardabweichungen mit demselben Faktor. Kurz:

r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}

Ob man dabei durch $n$ oder $n - 1$ teilt, ist egal, der Faktor kürzt sich.

Deutung:

$r = 1$ bzw. $r = -1$ : Alle Punkte liegen exakt auf einer Geraden mit positiver bzw. negativer Steigung.
$r$ nahe $0$ : Es gibt keinen linearen Zusammenhang.
Faustregel (je nach Fach verschieden): ab etwa $|r| \geq 0{,}7$ spricht man von einem starken linearen Zusammenhang.

$r$ ist dimensionslos und ändert sich nicht, wenn man die Werte linear mit positivem Faktor umrechnet (z.B. andere Einheit). Für Zufallsgrößen ist das Gegenstück $\rho = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$ .

Beispiele

Datenpaare $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 5)$ mit $\bar{x} = 2$ , $\bar{y} = \frac{11}{3}$ . Die Summe der Produkte der Abweichungen ist $3$ , die Quadratsummen sind $2$ (für $x$ ) und $\frac{14}{3}$ (für $y$ ):

r = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{14}{3}}} \approx 0{,}9820

Ein sehr starker positiver linearer Zusammenhang.

Datenpaare $(-1, 1)$ , $(0, 0)$ , $(1, 1)$ , also $y = x^2$ , mit $\bar{x} = 0$ und $\bar{y} = \frac{2}{3}$ . Der Zähler ist

(-1)\left(1 - \tfrac{2}{3}\right) + 0 \cdot \left(0 - \tfrac{2}{3}\right) + 1 \cdot \left(1 - \tfrac{2}{3}\right) = 0

also $r = 0$ , obwohl $y$ exakt durch $x$ bestimmt ist. Der Zusammenhang ist eben nicht linear.

Typische Fehler

Korrelation als Ursache-Wirkung deuten. Ein hohes $r$ kann durch eine dritte Größe entstehen (Scheinkorrelation).
Aus $r \approx 0$ schließen, dass kein Zusammenhang besteht. Nichtlineare Zusammenhänge wie im zweiten Beispiel erfasst $r$ nicht.
$r$ mit der Steigung der Regressionsgeraden verwechseln. $r = 0{,}98$ heißt nicht, dass $y$ pro Einheit von $x$ um $0{,}98$ steigt.
Einen Wert $|r| > 1$ ausrechnen. Dann liegt ein Rechenfehler vor, meist im Nenner.

Korrelationskoeffizient nach Pearson