Analysis

Ableitung der e-Funktion

Oberstufe

f(x) = e^x \;\Rightarrow\; f'(x) = e^x

$e$: Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828
$x$: beliebige reelle Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Die natürliche Exponentialfunktion stimmt mit ihrer eigenen Ableitung überein.

Ableitung der Umkehrfunktion

Studium

\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \quad \text{mit } y_0 = f(x_0)

Voraussetzung: $f$ $stetig und streng monoton auf einem$ $Intervall$ $,$ $f$ $differenzierbar in$ $x_0,$ $f'(x_0) \neq 0$

$f^{-1}$: Umkehrfunktion von f
$x_0$: Stelle im Definitionsbereich von f
$y_0$: zugehöriger Funktionswert, Stelle im Definitionsbereich von f⁻¹
$f'(x_0)$: Ableitung von f an der Stelle x₀, darf nicht null sein

Die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Kehrwert der Ableitung von f an der zugehörigen Stelle.

Ableitung der Wurzelfunktion

Oberstufe

f(x) = \sqrt{x} \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Voraussetzung: $x > 0$

$x$: positive reelle Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung der Quadratwurzel ist 1 geteilt durch das Doppelte der Wurzel, für alle positiven x.

Ableitung des Arkussinus

Studium

f(x) = \arcsin x \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Voraussetzung: $-1 < x < 1$

$x$: Stelle im offenen Intervall von −1 bis 1
$\arcsin x$: Arkussinus, der Winkel im Intervall von −π/2 bis π/2, dessen Sinus x ist
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung des Arkussinus ist 1 durch die Wurzel aus 1 − x²; sie existiert nur für −1 < x < 1.

Ableitung des Arkustangens

Studium

f(x) = \arctan x \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}

$x$: beliebige reelle Zahl
$\arctan x$: Arkustangens, der Winkel zwischen −π/2 und π/2, dessen Tangens x ist
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung des Arkustangens ist 1 durch 1 + x²; sie existiert für alle reellen Zahlen.

Ableitung des Kosinus

Oberstufe

f(x) = \cos x \;\Rightarrow\; f'(x) = -\sin x

Voraussetzung: $x$ $im Bogenmaß$

$x$: Winkel im Bogenmaß, beliebige reelle Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist der negative Sinus, wenn der Winkel im Bogenmaß gemessen wird.

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Oberstufe

f(x) = \ln x \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{x}

Voraussetzung: $x > 0$

$\ln x$: natürlicher Logarithmus von x, Logarithmus zur Basis e
$x$: positive reelle Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln x ist 1 durch x, für alle positiven x.

Ableitung des Sinus

Oberstufe

f(x) = \sin x \;\Rightarrow\; f'(x) = \cos x

Voraussetzung: $x$ $im Bogenmaß$

$x$: Winkel im Bogenmaß, beliebige reelle Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion, wenn der Winkel im Bogenmaß gemessen wird.

Ableitung des Tangens

Oberstufe

f(x) = \tan x \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x

Voraussetzung: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,$ $k \in \mathbb{Z},$ $x$ $im Bogenmaß$

$x$: Winkel im Bogenmaß, an dem der Kosinus nicht null ist
$k$: beliebige ganze Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung des Tangens ist 1 durch Kosinus zum Quadrat, gleichwertig 1 plus Tangens zum Quadrat.

Ableitung eines Parameterintegrals

Studium

\frac{d}{dt} \int_{a}^{b} f(x, t)\,dx = \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial t}(x, t)\,dx

Voraussetzung: $a, b$ $fest$ $,$ $f$ $und$ $\tfrac{\partial f}{\partial t}$ $stetig auf$ $[a, b] \times I,$ $t \in I$ $(offenes Intervall)$

$f(x, t)$: Integrand, abhängig von der Integrationsvariablen x und dem Parameter t
$x$: Integrationsvariable
$t$: Parameter, nach dem abgeleitet wird
$a, b$: feste Integrationsgrenzen
$\frac{\partial f}{\partial t}$: partielle Ableitung des Integranden nach t

Ein Integral mit festen Grenzen leitet man nach einem Parameter ab, indem man den Integranden nach diesem Parameter ableitet.

Ableitung von a hoch x

Oberstufe

f(x) = a^x \;\Rightarrow\; f'(x) = \ln(a) \cdot a^x

Voraussetzung: $a > 0$

$a$: Basis der Exponentialfunktion, eine positive Zahl
$x$: beliebige reelle Zahl
$\ln(a)$: natürlicher Logarithmus der Basis
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung von a hoch x ist die Funktion selbst, multipliziert mit dem natürlichen Logarithmus der Basis.

Ableitung von f(x) hoch g(x)

Studium

\left(f(x)^{g(x)}\right)' = f(x)^{g(x)} \cdot \left(g'(x) \ln f(x) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}\right)

Voraussetzung: $f, g$ $differenzierbar$ $,$ $f(x) > 0$

$f(x)$: Basis, eine positive differenzierbare Funktion
$g(x)$: Exponent, eine differenzierbare Funktion
$f'(x), g'(x)$: Ableitungen von Basis und Exponent
$\ln$: natürlicher Logarithmus

Hängen Basis und Exponent von x ab, schreibt man die Potenz als e-Funktion und leitet mit Ketten- und Produktregel ab.

Ableitung von x hoch r (reelle Exponenten)

Oberstufe

f(x) = x^r \;\Rightarrow\; f'(x) = r \cdot x^{r-1}

Voraussetzung: $r \in \mathbb{R},$ $x > 0$

$x$: positive reelle Zahl, die Variable der Funktion
$r$: fester reeller Exponent, z.B. ein Bruch oder eine irrationale Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Auch bei beliebigen reellen Exponenten wird der Exponent als Faktor vorgezogen und um eins verkleinert, für x > 0.

Ableitungen der Hyperbelfunktionen

Studium

(\sinh x)' = \cosh x,\quad (\cosh x)' = \sinh x,\quad (\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x

$x$: reelle Zahl
$\sinh, \cosh, \tanh$: Sinus, Kosinus und Tangens hyperbolicus

sinh und cosh leiten sich gegenseitig ab, ohne Vorzeichenwechsel; tanh hat die Ableitung 1 − tanh².

Bedingungen für Extremstellen

Oberstufe

\begin{aligned} f'(x_0) = 0 \;\wedge\; f''(x_0) < 0 &\;\Rightarrow\; \text{Hochpunkt} \\ f'(x_0) = 0 \;\wedge\; f''(x_0) > 0 &\;\Rightarrow\; \text{Tiefpunkt} \end{aligned}

Voraussetzung: $f$ $zweimal$ $differenzierbar$ $,$ $x_0$ $im Inneren des Definitionsbereichs$

$x_0$: untersuchte Stelle
$f'(x_0)$: erste Ableitung an der Stelle x₀, Steigung des Graphen
$f''(x_0)$: zweite Ableitung an der Stelle x₀, beschreibt die Krümmung

Ist die erste Ableitung null und die zweite ungleich null, liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt vor.

Bedingungen für Wendestellen

Oberstufe

f''(x_0) = 0 \;\wedge\; f'''(x_0) \neq 0 \;\Rightarrow\; x_0 \text{ ist Wendestelle}

Voraussetzung: $f$ $dreimal$ $differenzierbar$ $,$ $x_0$ $im Inneren des Definitionsbereichs$

$x_0$: untersuchte Stelle
$f''(x_0)$: zweite Ableitung an der Stelle x₀, beschreibt die Krümmung
$f'''(x_0)$: dritte Ableitung an der Stelle x₀

Ist die zweite Ableitung null und die dritte ungleich null, wechselt der Graph dort seine Krümmung.

Bogenlänge eines Graphen

Studium

L = \int_a^b \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx

Voraussetzung: $f$ $stetig differenzierbar auf$ $[a, b],$ $a < b$

$L$: Länge des Graphen zwischen x = a und x = b
$f'$: Ableitung der Funktion f
$a, b$: Grenzen des Abschnitts

Die Länge eines Funktionsgraphen ist das Integral über die Wurzel aus eins plus Ableitung zum Quadrat.

Differentialquotient

Oberstufe

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Voraussetzung: $f$ $in einer Umgebung von$ $x_0$ $definiert$ $,$ $Grenzwert existiert$

$f'(x_0)$: Ableitung von f an der Stelle x₀, die Steigung des Graphen dort
$f$: die betrachtete Funktion
$x_0$: Stelle, an der abgeleitet wird
$h$: Abstand zur zweiten Stelle, h ≠ 0
$\lim_{h \to 0}$: Grenzwert für h gegen null

Die Ableitung an einer Stelle ist der Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn der zweite Punkt immer näher rückt.

Differenzenquotient

Oberstufe

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}

Voraussetzung: $x_0 \neq x_1,$ $f$ $an beiden Stellen definiert$

$f$: die betrachtete Funktion
$x_0, x_1$: Anfang und Ende des betrachteten Intervalls
$\Delta y$: Änderung der Funktionswerte, f(x₁) − f(x₀)
$\Delta x$: Länge des Intervalls, x₁ − x₀

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf einem Intervall ist die Steigung der Sekante durch zwei Graphpunkte.

Extremwertaufgabe

Oberstufe

\begin{gathered} Z(x) = H\big(x,\ y(x)\big) \\ Z'(x_0) = 0 \;\wedge\; Z''(x_0) < 0 \\ \Rightarrow\; \text{lokales Maximum bei } x_0 \end{gathered}

Voraussetzung: $Z$ $zweimal$ $differenzierbar$ $,$ $x_0$ $im Inneren von$ $D_Z,$ $Randwerte zusätzlich prüfen$

$H$: Hauptbedingung, Formel für die Größe, die extremal werden soll
$y(x)$: aus der Nebenbedingung durch x ausgedrückte zweite Variable
$Z(x)$: Zielfunktion, hängt nur noch von einer Variablen ab
$x_0$: Kandidat für die Extremstelle
$D_Z$: sinnvoller Definitionsbereich der Zielfunktion

Man stellt eine Zielfunktion aus Haupt- und Nebenbedingung auf und bestimmt ihr Maximum oder Minimum mit der Ableitung.

Faktor- und Summenregel der Integration

Oberstufe

\int_a^b \big(r \cdot f(x) + s \cdot g(x)\big)\,dx = r \int_a^b f(x)\,dx + s \int_a^b g(x)\,dx

Voraussetzung: $f, g$ $stetig auf$ $[a, b],$ $r, s \in \mathbb{R}$

$f, g$: Funktionen, die auf dem Intervall integriert werden
$r, s$: konstante reelle Faktoren
$a, b$: Integrationsgrenzen

Konstante Faktoren darf man vor das Integral ziehen, und eine Summe darf man summandenweise integrieren.

Faktorregel

Oberstufe

f(x) = c \cdot g(x) \;\Rightarrow\; f'(x) = c \cdot g'(x)

Voraussetzung: $c \in \mathbb{R},$ $g$ $differenzierbar$

$c$: konstanter Faktor, eine feste Zahl
$g$: differenzierbare Funktion
$f'(x), g'(x)$: Ableitungen von f und g

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach stehen, abgeleitet wird nur die Funktion dahinter.

Fläche zwischen zwei Graphen

Oberstufe

A = \int_a^b \left| f(x) - g(x) \right| dx

Voraussetzung: $f, g$ $stetig auf$ $[a, b],$ $a < b$

$A$: Flächeninhalt zwischen den Graphen
$f, g$: die beiden Funktionen
$a, b$: Grenzen des Bereichs, oft Schnittstellen der Graphen

Die Fläche zwischen zwei Graphen ist das Integral über den Betrag der Differenz der beiden Funktionen.

Grenzwert einer Folge (ε-Definition)

Studium

\lim_{n \to \infty} a_n = a \;\Leftrightarrow\; \forall \varepsilon > 0\ \exists N \in \mathbb{N}\ \forall n \geq N:\ |a_n - a| < \varepsilon

Voraussetzung: $(a_n)$ $reelle$ $Folge$ $,$ $a \in \mathbb{R}$

$a_n$: n-tes Glied der Folge
$a$: Grenzwert der Folge
$\varepsilon$: beliebig kleine positive Toleranz um den Grenzwert
$N$: Index, ab dem alle Glieder innerhalb der Toleranz liegen; hängt von ε ab
$n$: Index der Folgenglieder

Eine Folge hat den Grenzwert a, wenn zu jeder Toleranz ε > 0 ab einem Index N alle Glieder näher als ε an a liegen.

Grenzwertsätze

Oberstufe

\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = a \pm b,\quad \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b,\quad \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}

Voraussetzung: $\lim_{n \to \infty} a_n = a,$ $\lim_{n \to \infty} b_n = b$ $mit$ $a,$ $b \in \mathbb{R};$ $beim Quotienten$ $b \neq 0$ $und$ $b_n \neq 0$

$a_n, b_n$: konvergente Folgen
$a, b$: Grenzwerte der beiden Folgen (endliche reelle Zahlen)
$n$: Index der Folgenglieder

Grenzwerte von Summe, Differenz, Produkt und Quotient konvergenter Folgen erhält man aus den einzelnen Grenzwerten.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Oberstufe

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Voraussetzung: $f$ $stetig auf$ $[a, b],$ $F' = f$

$f$: Integrand, die Funktion, über die integriert wird
$F$: eine beliebige Stammfunktion von f
$a, b$: untere und obere Integrationsgrenze
$\int_a^b f(x)\,dx$: bestimmtes Integral von f zwischen a und b

Ein bestimmtes Integral berechnet man als Differenz der Werte einer Stammfunktion an der oberen und unteren Grenze.

Hyperbelfunktionen

Studium

\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2},\quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2},\quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}

$x$: reelle Zahl
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,71828
$\sinh x$: Sinus hyperbolicus von x
$\cosh x$: Kosinus hyperbolicus von x
$\tanh x$: Tangens hyperbolicus von x

Sinus und Kosinus hyperbolicus sind der ungerade und der gerade Anteil von eˣ, der Tangens hyperbolicus ihr Quotient.

Hyperbolischer Pythagoras

Studium

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1

$x$: reelle Zahl
$\cosh x$: Kosinus hyperbolicus von x
$\sinh x$: Sinus hyperbolicus von x

Für jedes reelle x ist cosh² x − sinh² x = 1, das hyperbolische Gegenstück zu sin² x + cos² x = 1.

Integral der e-Funktion

Oberstufe

\int e^x \, dx = e^x + C

$e$: Eulersche Zahl, ungefähr 2,71828
$x$: Integrationsvariable
$C$: Integrationskonstante

Die e-Funktion ist ihre eigene Stammfunktion, man muss nur die Integrationskonstante ergänzen.

Integral des Kosinus

Oberstufe

\int \cos x \, dx = \sin x + C

Voraussetzung: $x$ $im Bogenmaß$

$x$: Integrationsvariable, Winkel im Bogenmaß
$C$: Integrationskonstante

Eine Stammfunktion des Kosinus ist der Sinus.

Integral des natürlichen Logarithmus

Studium

\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C

Voraussetzung: $x > 0$

$x$: Integrationsvariable, positiv
$\ln$: natürlicher Logarithmus (zur Basis e)
$C$: Integrationskonstante

Eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus ist x · ln x − x.

Integral des Sinus

Oberstufe

\int \sin x \, dx = -\cos x + C

Voraussetzung: $x$ $im Bogenmaß$

$x$: Integrationsvariable, Winkel im Bogenmaß
$C$: Integrationskonstante

Eine Stammfunktion des Sinus ist der negative Kosinus.

Integral des Tangens

Studium

\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C

Voraussetzung: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,$ $k \in \mathbb{Z},$ $x$ $im Bogenmaß$

$x$: Integrationsvariable, ein Winkel im Bogenmaß
$k$: beliebige ganze Zahl
$C$: Integrationskonstante

Eine Stammfunktion des Tangens ist minus der natürliche Logarithmus vom Betrag des Kosinus.

Integral von 1/(1+x²)

Studium

\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan x + C

$x$: Integrationsvariable, beliebige reelle Zahl
$\arctan x$: Arkustangens, die Umkehrfunktion des Tangens
$C$: Integrationskonstante

Eine Stammfunktion von 1/(1 + x²) ist der Arkustangens; allgemeiner gilt das Integral von 1/(a² + x²) = arctan(x/a)/a.

Integral von 1/x

Oberstufe

\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

Voraussetzung: $x \neq 0$

$x$: Integrationsvariable, ungleich 0
$\ln$: natürlicher Logarithmus (zur Basis e)
$C$: Integrationskonstante

Eine Stammfunktion von 1/x ist der natürliche Logarithmus des Betrags von x.

Integralfunktion

Oberstufe

I_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \qquad I_a'(x) = f(x), \qquad I_a(a) = 0

Voraussetzung: $f$ $stetig auf einem Intervall, das$ $a$ $und$ $x$ $enthält$

$I_a(x)$: Integralfunktion von f zur unteren Grenze a
$a$: feste untere Grenze
$x$: variable obere Grenze, die Variable der Integralfunktion
$t$: Integrationsvariable
$f(t)$: Integrand

Die Integralfunktion ordnet jeder oberen Grenze x das Integral von a bis x zu; sie ist eine Stammfunktion mit Nullstelle bei a.

Integration durch Substitution

Studium

\int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,dt

Voraussetzung: $g$ $stetig differenzierbar auf$ $[a, b],$ $f$ $stetig auf$ $g([a, b])$

$g$: innere Funktion, die durch t ersetzt wird
$g'$: Ableitung der inneren Funktion
$f$: äußere Funktion
$t$: neue Integrationsvariable, t = g(x)
$a, b$: ursprüngliche Grenzen; g(a) und g(b) sind die neuen Grenzen

Steht im Integranden eine verkettete Funktion mal ihrer inneren Ableitung, ersetzt man die innere Funktion durch eine neue Variable.

Intervalladditivität

Oberstufe

\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx

Voraussetzung: $f$ $stetig auf einem Intervall, das$ $a,$ $b$ $und$ $c$ $enthält$

$f$: Integrand
$a, c$: äußere Integrationsgrenzen
$b$: Zwischenstelle, an der das Integral aufgeteilt wird

Ein Integral lässt sich an einer Zwischenstelle in zwei Integrale aufteilen, deren Werte sich addieren.

Kettenregel

Oberstufe

f(x) = u\big(v(x)\big) \;\Rightarrow\; f'(x) = u'\big(v(x)\big) \cdot v'(x)

Voraussetzung: $v$ $differenzierbar in$ $x,$ $u$ $differenzierbar in$ $v(x)$

$u$: äußere Funktion
$v$: innere Funktion
$u'\big(v(x)\big)$: äußere Ableitung, an der Stelle v(x) ausgewertet
$v'(x)$: innere Ableitung

Eine verkettete Funktion leitet man ab, indem man die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung multipliziert.

Krümmung einer Kurve

Studium

\kappa(x) = \frac{f''(x)}{\bigl(1 + f'(x)^2\bigr)^{3/2}}

Voraussetzung: $f$ $zweimal differenzierbar$

$\kappa(x)$: Krümmung des Graphen an der Stelle x (mit Vorzeichen)
$f'(x)$: erste Ableitung, Steigung des Graphen
$f''(x)$: zweite Ableitung
$x$: Stelle auf dem Graphen

Die Krümmung misst, wie stark ein Graph von der Geraden abweicht; ihr Kehrwert ist der Radius des Krümmungskreises.

Krümmungsverhalten

Oberstufe

\begin{aligned} f'' > 0 \text{ auf } I &\;\Rightarrow\; \text{Linkskurve} \\ f'' < 0 \text{ auf } I &\;\Rightarrow\; \text{Rechtskurve} \end{aligned}

Voraussetzung: $f$ $zweimal differenzierbar auf dem Intervall$ $I$

$f''$: zweite Ableitung von f
$I$: Intervall, auf dem das Krümmungsverhalten untersucht wird

Ist die zweite Ableitung auf einem Intervall positiv, ist der Graph dort eine Linkskurve, ist sie negativ, eine Rechtskurve.

Kurvendiskussion

Oberstufe

\begin{array}{ll} \text{Nullstellen:} & f(x) = 0 \\ \text{Extremkandidaten:} & f'(x) = 0 \\ \text{Wendekandidaten:} & f''(x) = 0 \end{array}

Voraussetzung: $f$ $auf dem Definitionsbereich ausreichend oft differenzierbar$

$f(x)$: die untersuchte Funktion
$f'(x)$: erste Ableitung, die Steigung des Graphen
$f''(x)$: zweite Ableitung, die Krümmung des Graphen

Eine Kurvendiskussion untersucht eine Funktion Schritt für Schritt auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte und Verhalten.

Lineare Substitution

Oberstufe

\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\,F(ax + b) + C

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $F' = f$

$f$: äußere Funktion
$F$: eine Stammfunktion von f
$ax + b$: lineare innere Funktion mit Steigung a und Achsenabschnitt b
$C$: Integrationskonstante

Ist die innere Funktion linear, integriert man die äußere Funktion und teilt durch die Steigung der inneren.

Logarithmische Integration

Studium

\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\left|f(x)\right| + C

Voraussetzung: $f$ $stetig$ $differenzierbar$ $,$ $f(x) \neq 0$ $im Integrationsbereich$

$f$: differenzierbare Funktion im Nenner
$f'$: Ableitung von f im Zähler
$\ln$: natürlicher Logarithmus
$C$: Integrationskonstante

Ist der Zähler eines Bruchs die Ableitung des Nenners, ist der Logarithmus des Nennerbetrags eine Stammfunktion.

Mittelwert einer Funktion

Oberstufe

\overline{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx

Voraussetzung: $f$ $stetig auf$ $[a, b],$ $a < b$

$\overline{f}$: Mittelwert der Funktionswerte auf dem Intervall
$f$: die betrachtete Funktion
$a, b$: Intervallgrenzen
$b - a$: Länge des Intervalls

Der Mittelwert einer Funktion auf einem Intervall ist ihr Integral geteilt durch die Intervalllänge.

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Studium

f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \quad \text{für ein } \xi \in (a, b)

Voraussetzung: $a < b,$ $f$ $stetig auf$ $[a, b],$ $f$ $differenzierbar auf$ $(a, b)$

$a, b$: Grenzen des Intervalls
$f$: auf [a, b] stetige, auf (a, b) differenzierbare Funktion
$\xi$: eine Zwischenstelle, deren Existenz der Satz garantiert
$f'(\xi)$: Ableitung an der Zwischenstelle

Zwischen a und b gibt es mindestens eine Stelle, an der die Tangente parallel zur Sekante durch beide Endpunkte ist.

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Studium

\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi) \cdot (b - a) \quad \text{für ein } \xi \in [a, b]

Voraussetzung: $a < b,$ $f$ $stetig auf$ $[a, b]$

$f$: auf [a, b] stetige Funktion
$a, b$: Integrationsgrenzen
$\xi$: Zwischenstelle, an der f seinen Mittelwert annimmt
$x$: Integrationsvariable

Eine stetige Funktion nimmt ihren Mittelwert auf [a, b] an mindestens einer Stelle ξ an.

Mittlere Änderungsrate

Oberstufe

\bar{m}_{[a,\,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Voraussetzung: $a \neq b,$ $f$ $an den Stellen$ $a$ $und$ $b$ $definiert$

$\bar{m}_{[a,\,b]}$: mittlere Änderungsrate von f auf dem Intervall von a bis b
$f(a), f(b)$: Bestand am Anfang und am Ende des Intervalls
$a, b$: Anfang und Ende des Intervalls, z.B. zwei Zeitpunkte

Die mittlere Änderungsrate gibt an, um wie viel sich eine Größe im Durchschnitt pro Einheit der Eingangsgröße ändert.

Monotoniekriterium

Oberstufe

\begin{aligned} f'(x) > 0 \text{ auf } I &\;\Rightarrow\; f \text{ streng monoton wachsend} \\ f'(x) < 0 \text{ auf } I &\;\Rightarrow\; f \text{ streng monoton fallend} \end{aligned}

Voraussetzung: $f$ $differenzierbar auf dem Intervall$ $I$

$f'(x)$: erste Ableitung von f, die Steigung an der Stelle x
$I$: Intervall, auf dem die Monotonie untersucht wird

Ist die Ableitung auf einem Intervall positiv, steigt die Funktion dort streng, ist sie negativ, fällt sie streng.

Normalengleichung

Oberstufe

n(x) = -\frac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0)

Voraussetzung: $f$ $differenzierbar in$ $x_0,$ $f'(x_0) \neq 0$

$n(x)$: Funktionsterm der Normalen
$x_0$: Stelle des Kurvenpunkts
$f(x_0)$: y-Wert des Kurvenpunkts
$f'(x_0)$: Steigung der Tangente im Kurvenpunkt

Die Normale steht im Kurvenpunkt senkrecht auf der Tangente, ihre Steigung ist minus eins durch f'(x₀).

Partialbruchzerlegung

Studium

\frac{p(x)}{(x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n)} = \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{x - x_2} + \dots + \frac{A_n}{x - x_n}

Voraussetzung: $x_1, \ldots, x_n$ $paarweise$ $verschieden$ $,$ $\operatorname{grad} p < n,$ $x \neq x_k$

$p(x)$: Zählerpolynom mit kleinerem Grad als der Nenner
$x_1, \ldots, x_n$: einfache reelle Nullstellen des Nenners
$A_1, \ldots, A_n$: konstante Koeffizienten der Partialbrüche
$x$: Variable, keine Nennernullstelle
$n$: Grad des Nenners

Ein echt gebrochenrationaler Ausdruck mit einfachen Nennernullstellen zerfällt in eine Summe von Brüchen A/(x − xₖ).

Partielle Integration

Oberstufe

\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \big[u(x)\,v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx

Voraussetzung: $u, v$ $stetig differenzierbar auf$ $[a, b]$

$u$: Faktor, der abgeleitet wird
$v'$: Faktor, der integriert wird
$u', v$: Ableitung von u und eine Stammfunktion von v′
$a, b$: Integrationsgrenzen

Ein Integral über ein Produkt lässt sich umformen, indem man einen Faktor ableitet und den anderen integriert.

Potenzregel

Oberstufe

f(x) = x^n \;\Rightarrow\; f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1\colon x \in \mathbb{R};$ $n \in \mathbb{Z}\colon x \neq 0;$ $n \in \mathbb{R}\colon x > 0$

$x$: Variable der Funktion
$n$: Exponent, eine feste Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Beim Ableiten einer Potenz wird der Exponent als Faktor vorgezogen und dann um eins verkleinert.

Produktregel

Oberstufe

f(x) = u(x) \cdot v(x) \;\Rightarrow\; f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

Voraussetzung: $u, v$ $differenzierbar$

$u, v$: differenzierbare Funktionen, die beiden Faktoren
$u'(x), v'(x)$: Ableitungen der Faktoren
$f'(x)$: Ableitung des Produkts

Die Ableitung eines Produkts ist erster Faktor abgeleitet mal zweiter plus erster mal zweiter abgeleitet.

Quotientenregel

Oberstufe

f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}

Voraussetzung: $u, v$ $differenzierbar$ $,$ $v(x) \neq 0$

$u$: Zählerfunktion
$v$: Nennerfunktion, darf an der Stelle x nicht null sein
$u'(x), v'(x)$: Ableitungen von Zähler und Nenner
$f'(x)$: Ableitung des Quotienten

Einen Bruch leitet man ab mit Zähler abgeleitet mal Nenner minus Zähler mal Nenner abgeleitet, geteilt durch Nenner².

Regel von L’Hospital

Studium

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Voraussetzung: $f, g$ $nahe$ $a$ $differenzierbar$ $,$ $Typ$ $\tfrac{0}{0}$ $oder$ $\tfrac{\infty}{\infty},$ $g'(x) \neq 0$ $nahe$ $a,$ $\lim_{x \to a} \tfrac{f'(x)}{g'(x)}$ $existiert (auch$ $\pm\infty$ $)$

$f, g$: in der Nähe von a differenzierbare Funktionen, Zähler und Nenner
$a$: Stelle, an der der Grenzwert gesucht ist; auch ±∞ ist erlaubt
$f'(x), g'(x)$: Ableitungen von Zähler und Nenner, jeweils einzeln

Bei Grenzwerten vom Typ 0/0 oder ∞/∞ darf man Zähler und Nenner getrennt ableiten.

Restglied von Lagrange

Studium

R_n(x) = f(x) - T_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x - x_0)^{n+1}

Voraussetzung: $f$ $auf einem Intervall$ $I$ $mit$ $x_0,$ $x \in I \ (n+1)$ $-mal$ $differenzierbar$ $,$ $\xi$ $liegt zwischen$ $x_0$ $und$ $x$

$R_n(x)$: Restglied, also der Fehler des Taylorpolynoms an der Stelle x
$T_n(x)$: Taylorpolynom n-ten Grades von f um x₀
$f^{(n+1)}$: (n+1)-te Ableitung von f
$x_0$: Entwicklungsstelle
$x$: Stelle, an der genähert wird
$\xi$: unbekannte Zwischenstelle zwischen x₀ und x
$n$: Grad des Taylorpolynoms

Der Fehler des Taylorpolynoms vom Grad n ist die (n+1)-te Ableitung an einer Zwischenstelle mal (x − x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)!.

Rotationsvolumen

Oberstufe

V = \pi \int_a^b \big(f(x)\big)^2 \, dx

Voraussetzung: $f$ $stetig auf$ $[a, b],$ $a < b,$ $Rotation um die$ $x$ $-Achse$

$V$: Volumen des Rotationskörpers
$f$: Funktion, deren Graph um die x-Achse rotiert
$a, b$: Grenzen des rotierenden Abschnitts
$\pi$: Kreiszahl, ungefähr 3,14159

Rotiert der Graph von f um die x-Achse, ist das Volumen π mal das Integral über f².

Satz von Rolle

Studium

f(a) = f(b) \;\Rightarrow\; \exists\, \xi \in (a, b):\ f'(\xi) = 0

Voraussetzung: $a < b,$ $f$ $stetig auf$ $[a, b],$ $f$ $differenzierbar auf$ $(a, b)$

$f$: auf [a, b] stetige, auf (a, b) differenzierbare Funktion
$a, b$: Grenzen des Intervalls
$\xi$: innere Stelle mit waagerechter Tangente
$f'(\xi)$: Ableitung an der Stelle ξ

Hat eine differenzierbare Funktion an beiden Intervallenden denselben Wert, gibt es dazwischen eine Stelle mit f′ = 0.

Stammfunktion einer Potenzfunktion

Oberstufe

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

Voraussetzung: $n \neq -1,$ $x^n$ $definiert; für$ $n < 0: x \neq 0$

$x$: Integrationsvariable
$n$: Exponent, eine reelle Zahl ungleich −1
$C$: Integrationskonstante, eine beliebige reelle Zahl
$\int \ldots \, dx$: unbestimmtes Integral, die Menge aller Stammfunktionen

Eine Stammfunktion von xⁿ erhält man, indem man den Exponenten um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten teilt.

Steckbriefaufgaben

Oberstufe

\begin{gathered} f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \\ \text{mit}\ f(x_0) = y_0, \\ f'(x_E) = 0,\ f''(x_W) = 0 \end{gathered}

Voraussetzung: $n + 1$ $unabhängige Bedingungen für eine Funktion vom Grad$ $n$

$a, b, c, d$: gesuchte Koeffizienten der ganzrationalen Funktion
$f(x_0) = y_0$: Bedingung aus einem Punkt P(x₀ | y₀) auf dem Graphen
$x_E$: Extremstelle, an der die Ableitung null ist
$x_W$: Wendestelle, an der die zweite Ableitung null ist
$n$: Grad der gesuchten Funktion, Anzahl der Unbekannten ist n + 1

Aus Eigenschaften wie Punkten, Extrem- und Wendestellen stellt man ein Gleichungssystem für die Koeffizienten auf.

Stetigkeit (ε-δ-Definition)

Studium

\begin{gathered} \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in D\colon \\ |x - x_0| < \delta \\ \Rightarrow\; |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \end{gathered}

Voraussetzung: $f: D \to \mathbb{R},$ $D \subseteq \mathbb{R},$ $x_0 \in D$

$f$: Funktion mit Definitionsbereich D
$D$: Definitionsbereich von f
$x_0$: Stelle, an der die Stetigkeit geprüft wird
$x$: beliebige Stelle aus D in der Nähe von x₀
$\varepsilon$: vorgegebene Toleranz für die Funktionswerte
$\delta$: zugehörige Toleranz für die Stellen; hängt von ε (und meist von x₀) ab

f ist bei x₀ stetig, wenn kleine Änderungen von x nahe x₀ nur beliebig kleine Änderungen von f(x) bewirken.

Stirling-Formel

Studium

n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \to \infty$

$n!$: Fakultät von n
$n$: natürliche Zahl
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,71828
$\sim$: asymptotisch gleich, der Quotient beider Seiten geht gegen 1

Für große n ist n! ungefähr die Wurzel aus 2πn mal (n/e)ⁿ; der relative Fehler geht gegen 0.

Summenregel

Oberstufe

f(x) = u(x) + v(x) \;\Rightarrow\; f'(x) = u'(x) + v'(x)

Voraussetzung: $u, v$ $differenzierbar$

$u, v$: differenzierbare Funktionen, die Summanden
$u'(x), v'(x)$: Ableitungen der Summanden
$f'(x)$: Ableitung der Summe

Eine Summe oder Differenz von Funktionen wird abgeleitet, indem man jeden Summanden einzeln ableitet.

Tangentengleichung

Oberstufe

t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)

Voraussetzung: $f$ $differenzierbar in$ $x_0$

$t(x)$: Funktionsterm der Tangente
$x_0$: Stelle des Berührpunkts
$f(x_0)$: y-Wert des Berührpunkts
$f'(x_0)$: Steigung des Graphen und der Tangente im Berührpunkt

Die Tangente an der Stelle x₀ ist die Gerade durch den Graphpunkt mit der Steigung f'(x₀).

Taylorpolynom

Studium

T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \, (x - x_0)^k

Voraussetzung: $f$ $in$ $x_0\ n$ $-mal$ $differenzierbar$

$T_n(x)$: Taylorpolynom vom Grad höchstens n
$x_0$: Entwicklungspunkt, um den herum angenähert wird
$f^{(k)}(x_0)$: k-te Ableitung von f an der Stelle x₀, mit f⁽⁰⁾ = f
$k!$: Fakultät von k, mit 0! = 1
$n$: Grad des Taylorpolynoms

Das Taylorpolynom nähert eine Funktion nahe x₀ durch ein Polynom an, das dort in den ersten n Ableitungen übereinstimmt.

Uneigentliches Integral

Oberstufe

\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx

Voraussetzung: $f$ $stetig auf$ $[a, \infty)$

$f$: Integrand
$a$: feste untere Grenze
$b$: variable obere Grenze, die gegen unendlich geht

Ein Integral mit unendlicher Grenze ist der Grenzwert gewöhnlicher Integrale, falls dieser existiert.

Wendetangente

Oberstufe

t_W(x) = f'(x_W) \cdot (x - x_W) + f(x_W)

Voraussetzung: $x_W$ $Wendestelle von$ $f,$ $f$ $differenzierbar in$ $x_W$

$t_W(x)$: Funktionsterm der Wendetangente
$x_W$: Wendestelle, also x-Koordinate des Wendepunkts
$f(x_W)$: y-Koordinate des Wendepunkts
$f'(x_W)$: Steigung des Graphen im Wendepunkt

Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt; sie hat dort die Steigung f'(x_W) und durchsetzt den Graphen.

Wichtige Grenzwerte

Studium

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,\quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1,\quad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

$x$: reelle Variable (bei sin im Bogenmaß)
$n$: natürliche Zahl
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,71828

sin x / x und (eˣ − 1)/x gehen für x → 0 gegen 1, die n-te Wurzel aus n für n → ∞ ebenfalls.

Zwischenwertsatz

Studium

y \text{ zwischen } f(a) \text{ und } f(b) \;\Rightarrow\; \exists\, \xi \in [a, b]:\ f(\xi) = y

Voraussetzung: $a < b,$ $f$ $stetig auf$ $[a, b]$

$f$: auf [a, b] stetige Funktion
$a, b$: Grenzen des Intervalls
$y$: ein Wert zwischen f(a) und f(b) (einschließlich)
$\xi$: Stelle im Intervall, an der f den Wert y annimmt

Eine stetige Funktion auf [a, b] nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an mindestens einer Stelle an.