Differenzenquotient

Oberstufe

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}

Voraussetzung: $x_0 \neq x_1,$ $f$ $an beiden Stellen definiert$

$f$: die betrachtete Funktion
$x_0, x_1$: Anfang und Ende des betrachteten Intervalls
$\Delta y$: Änderung der Funktionswerte, f(x₁) − f(x₀)
$\Delta x$: Länge des Intervalls, x₁ − x₀

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf einem Intervall ist die Steigung der Sekante durch zwei Graphpunkte.

Graph von f(x) = x² mit der Sekante durch (1 | 1) und (3 | 9); ihre Steigung ist Δy/Δx = 8/2 = 4

Erklärung

Der Differenzenquotient gibt an, wie stark sich eine Funktion auf einem Intervall $[x_0;\, x_1]$ im Mittel ändert. Man teilt die Änderung der Funktionswerte durch die Änderung der $x$ -Werte.

Geometrisch ist das die Steigung der Sekante, also der Geraden durch die beiden Graphpunkte $P_0(x_0 \mid f(x_0))$ und $P_1(x_1 \mid f(x_1))$ . Wie sich die Funktion zwischen den beiden Stellen verhält, spielt dabei keine Rolle.

Häufig schreibt man $x_1 = x_0 + h$ . Dann lautet der Differenzenquotient

\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \quad h \neq 0.

Lässt man $h$ gegen null gehen, erhält man den Differentialquotienten, also die Ableitung.

Die Einheit der mittleren Änderungsrate ist „Einheit von $y$ pro Einheit von $x$ “, z.B. Meter pro Sekunde.

Beispiele

Für $f(x) = x^2$ auf dem Intervall $[1;\, 3]$ :

\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4

Ein fallender Stein legt in den ersten $t$ Sekunden ungefähr $s(t) = 5t^2$ Meter zurück (ohne Luftwiderstand und mit $g \approx 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ gerechnet). Die mittlere Geschwindigkeit zwischen $t = 1\,\text{s}$ und $t = 3\,\text{s}$ ist

\frac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \frac{45 - 5}{2} = 20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}

Typische Fehler

Die Reihenfolge nur im Zähler oder nur im Nenner tauschen. $\frac{f(1) - f(3)}{3 - 1}$ ergibt $-4$ statt $4$ .
Im Nenner die Funktionswerte statt der $x$ -Werte abziehen. Unten steht immer $x_1 - x_0$ .
Mittlere und momentane Änderungsrate verwechseln. Der Differenzenquotient sagt nichts über die Steigung an einer einzelnen Stelle.

Differenzenquotient