Krümmung einer Kurve

Studium

\kappa(x) = \frac{f''(x)}{\bigl(1 + f'(x)^2\bigr)^{3/2}}

Voraussetzung: $f$ $zweimal differenzierbar$

$\kappa(x)$: Krümmung des Graphen an der Stelle x (mit Vorzeichen)
$f'(x)$: erste Ableitung, Steigung des Graphen
$f''(x)$: zweite Ableitung
$x$: Stelle auf dem Graphen

Die Krümmung misst, wie stark ein Graph von der Geraden abweicht; ihr Kehrwert ist der Radius des Krümmungskreises.

Die Normalparabel f(x) = x² mit ihrem Krümmungskreis im Scheitel, Radius 1/2 und Krümmung κ = 2

Erklärung

Die Krümmung $\kappa$ gibt an, wie schnell sich die Richtung einer Kurve ändert, gemessen pro Längeneinheit. Eine Gerade hat die Krümmung $0$ , ein Kreis mit Radius $R$ überall die Krümmung $\frac{1}{R}$ .

$\kappa > 0$ : Linkskurve, der Graph ist dort linksgekrümmt (konvex).
$\kappa < 0$ : Rechtskurve.
Der Krümmungsradius $r = \frac{1}{|\kappa|}$ ist der Radius des Kreises, der sich an dieser Stelle am besten an die Kurve anschmiegt (Krümmungskreis).

Die zweite Ableitung allein misst die Krümmung nur ungenau. Bei steilem Graphen wird sie durch den Nenner $(1 + f'^2)^{3/2}$ abgeschwächt. Nur wo $f' = 0$ ist, stimmen $\kappa$ und $f''$ überein.

Für eine Parameterkurve $\bigl(x(t), y(t)\bigr)$ gilt die allgemeinere Formel

\kappa = \frac{\dot x\,\ddot y - \dot y\,\ddot x}{\left(\dot x^2 + \dot y^2\right)^{3/2}}

Für den Kreis $x = R\cos t$ , $y = R\sin t$ ergibt sie $\frac{R^2}{R^3} = \frac{1}{R}$ .

Beispiele

$f(x) = x^2$ hat $f'(x) = 2x$ und $f''(x) = 2$ .

Im Scheitel $x = 0$ : $\kappa = 2$ , der Krümmungskreis hat den Radius $\frac{1}{2}$ .
Bei $x = 1$ : $\kappa = \frac{2}{(1 + 4)^{3/2}} = \frac{2}{5^{3/2}} \approx 0{,}1789$ , der Krümmungsradius ist etwa $5{,}59$ .

Die Parabel wird also nach außen hin immer flacher, obwohl $f''$ konstant ist.

Der obere Halbkreis $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ mit Radius $2$ hat bei $x = 0$ die Werte $f'(0) = 0$ und $f''(0) = -\frac{1}{2}$ , also $\kappa = -\frac{1}{2}$ : eine Rechtskurve mit Radius $2$ , wie erwartet.

Typische Fehler

$f''$ mit der Krümmung gleichsetzen. Das stimmt nur an Stellen mit waagerechter Tangente.
Den Exponenten $\frac{3}{2}$ im Nenner vergessen oder als Quadrat schreiben.
Das Vorzeichen falsch deuten. Es hängt von der Durchlaufrichtung ab; der Krümmungsradius verwendet deshalb den Betrag.

Krümmung einer Kurve