Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Erklärung

Der Mittelwertsatz verbindet die mittlere Änderungsrate auf einem Intervall mit der momentanen Änderungsrate: Irgendwo zwischen $a$ und $b$ ist die Ableitung genau so groß wie die Steigung der Sekante durch $(a \mid f(a))$ und $(b \mid f(b))$. Geometrisch gibt es dort eine Tangente, die parallel zur Sekante ist.

Der Satz sagt nur, dass ein solches $\xi$ existiert, nicht wo. Es kann auch mehrere geben.

Der Sonderfall $f(a) = f(b)$ heißt Satz von Rolle: Dann gibt es ein $\xi \in (a, b)$ mit $f'(\xi) = 0$.

Wichtige Folgerungen:

• Ist $f' = 0$ auf einem Intervall, ist $f$ dort konstant.
• Ist $f' > 0$ auf einem Intervall, ist $f$ dort streng monoton wachsend (entsprechend fallend für $f' < 0$).
• Ist $|f'| \leq L$, gilt die Abschätzung $|f(b) - f(a)| \leq L \cdot |b - a|$. Wegen $|\cos x| \leq 1$ ist z.B. $|\sin b - \sin a| \leq |b - a|$.

Beispiele

$f(x) = x^2$ auf $[1, 3]$: Die Sekantensteigung ist $\frac{9 - 1}{2} = 4$. Aus $f'(\xi) = 2\xi = 4$ folgt $\xi = 2$.

$f(x) = x^3$ auf $[0, 3]$: Die Sekantensteigung ist $\frac{27 - 0}{3} = 9$. Aus $3\xi^2 = 9$ folgt $\xi = \sqrt{3} \approx 1{,}732$, das im Intervall liegt.

Typische Fehler

• Die Voraussetzungen übergehen. $f(x) = |x|$ auf $[-1, 1]$ hat die Sekantensteigung $0$, aber $f'$ ist nirgends $0$. Der Satz gilt nicht, weil $|x|$ bei $0$ nicht differenzierbar ist.
• Annehmen, $\xi$ liege in der Mitte des Intervalls. Im zweiten Beispiel ist $\xi = \sqrt{3}$, nicht $1{,}5$.
• Erwarten, dass $\xi$ eindeutig ist. Bei $\sin x$ auf $[0, 4\pi]$ ist die Sekantensteigung $0$, und $\cos \xi = 0$ hat dort vier Lösungen.