Partielle Integration

Oberstufe

\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \big[u(x)\,v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx

Voraussetzung: $u, v$ $stetig differenzierbar auf$ $[a, b]$

$u$: Faktor, der abgeleitet wird
$v'$: Faktor, der integriert wird
$u', v$: Ableitung von u und eine Stammfunktion von v′
$a, b$: Integrationsgrenzen

Ein Integral über ein Produkt lässt sich umformen, indem man einen Faktor ableitet und den anderen integriert.

Erklärung

Die partielle Integration (Produktintegration) hilft bei Integralen über ein Produkt zweier Funktionen. Man wählt einen Faktor $u$ , der beim Ableiten einfacher wird, und einen Faktor $v'$ , den man integrieren kann. Das neue Integral $\int u'\,v\,dx$ ist dann hoffentlich leichter als das alte.

Faustregel für die Wahl von $u$ : Polynome und Logarithmen ableiten, $e^x$ , $\sin x$ und $\cos x$ integrieren.

Für unbestimmte Integrale lautet die Regel $\int u\,v'\,dx = u\,v - \int u'\,v\,dx$ .

Manchmal muss man die Regel mehrmals anwenden, z.B. bei $x^2 e^x$ .

Herleitung

Nach der Produktregel ist $(u\,v)' = u'\,v + u\,v'$ . Integriert man beide Seiten von $a$ bis $b$ , erhält man mit dem Hauptsatz

\big[u\,v\big]_a^b = \int_a^b u'\,v\,dx + \int_a^b u\,v'\,dx

Umstellen nach $\int_a^b u\,v'\,dx$ ergibt die Formel.

Beispiele

Für $\int x\,e^x\,dx$ wählt man $u = x$ und $v' = e^x$ , also $u' = 1$ und $v = e^x$ :

\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int 1 \cdot e^x\,dx = (x - 1)\,e^x + C

\int_0^1 x\,e^x\,dx = \big[(x - 1)\,e^x\big]_0^1 = 0 - (-1) = 1

Mit $u = x$ und $v' = \cos x$ , also $v = \sin x$ :

\int_0^{\pi} x \cos x\,dx = \big[x \sin x\big]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \sin x\,dx = 0 - 2 = -2

Zweimal partiell integriert ergibt sich $\int x^2 e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)\,e^x + C$ und damit

\int_0^1 x^2 e^x\,dx = (1 - 2 + 2)\,e - 2 = e - 2 \approx 0{,}7183

Typische Fehler

$u$ und $v'$ ungünstig wählen: Mit $u = e^x$ und $v' = x$ wird das neue Integral $\int e^x \cdot \frac{x^2}{2}\,dx$ schwieriger statt leichter.
Das Minuszeichen vor dem zweiten Integral vergessen.
Beim bestimmten Integral den Term $u\,v$ nicht in die Grenzen einsetzen.
Annehmen, das Integral eines Produkts sei das Produkt der Integrale.

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