Tangentengleichung

Oberstufe

t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)

Voraussetzung: $f$ $differenzierbar in$ $x_0$

$t(x)$: Funktionsterm der Tangente
$x_0$: Stelle des Berührpunkts
$f(x_0)$: y-Wert des Berührpunkts
$f'(x_0)$: Steigung des Graphen und der Tangente im Berührpunkt

Die Tangente an der Stelle x₀ ist die Gerade durch den Graphpunkt mit der Steigung f'(x₀).

Tangente t(x) = 2x − 1 an f(x) = x² im Berührpunkt (1 | 1) an der Stelle x₀ = 1

Erklärung

Die Tangente berührt den Graphen von $f$ im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ und hat dort dieselbe Steigung wie der Graph, also $f'(x_0)$ . In der Nähe von $x_0$ ist sie die beste Näherung des Graphen durch eine Gerade.

Die Formel ist die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden mit dem Punkt $(x_0 \mid f(x_0))$ und der Steigung $m = f'(x_0)$ . Vorgehen:

$f(x_0)$ berechnen.
$f'(x)$ bilden und $f'(x_0)$ berechnen.
Beides einsetzen und bei Bedarf in die Form $y = mx + b$ bringen.

Weiter weg vom Berührpunkt darf die Tangente den Graphen durchaus noch einmal schneiden.

Beispiele

$f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = 1$ : $f(1) = 1$ , $f'(x) = 2x$ , $f'(1) = 2$ .

t(x) = 2 \cdot (x - 1) + 1 = 2x - 1

$f(x) = x^3 - 2x$ an der Stelle $x_0 = 2$ : $f(2) = 8 - 4 = 4$ , $f'(x) = 3x^2 - 2$ , $f'(2) = 10$ .

t(x) = 10 \cdot (x - 2) + 4 = 10x - 16

Typische Fehler

$f'(x)$ statt $f'(x_0)$ einsetzen. Die Steigung muss eine Zahl sein, sonst ist das Ergebnis keine Gerade.
$f(x_0)$ und $f'(x_0)$ vertauschen.
Das Vorzeichen in $(x - x_0)$ falsch setzen. Bei $x_0 = -3$ steht dort $(x + 3)$ .

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