Ableitungen der Hyperbelfunktionen

Erklärung

Die Ableitungen folgen direkt aus den Definitionen mit $e^x$, weil $(e^{-x})' = -e^{-x}$ ist:

Anders als bei $\sin$ und $\cos$ gibt es kein Minuszeichen: $\cosh' = \sinh$, nicht $-\sinh$. Zweimal abgeleitet erhält man die Funktion selbst zurück, $\sinh'' = \sinh$.

Die Ableitung von $\tanh$ folgt mit der Quotientenregel und $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Weil $\frac{1}{\cosh^2 x} > 0$ ist, wächst $\tanh$ streng monoton.

Umgekehrt ergeben sich die Stammfunktionen $\int \cosh x\,dx = \sinh x + C$ und $\int \sinh x\,dx = \cosh x + C$. Für die Umkehrfunktion gilt $(\operatorname{arsinh} x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Beispiele

Mit der Kettenregel: $f(x) = \cosh(2x)$ hat die Ableitung $f'(x) = 2\sinh(2x)$.

Mit der Produktregel: $f(x) = x \sinh x$ hat die Ableitung $f'(x) = \sinh x + x \cosh x$.

Ein Integral: $\int_0^1 \cosh x\,dx = \sinh 1 - \sinh 0 \approx 1{,}1752$.

Typische Fehler

• Das Minuszeichen von $(\cos x)' = -\sin x$ übernehmen. Richtig ist $(\cosh x)' = +\sinh x$.
• Die innere Ableitung vergessen: $(\cosh(2x))' = 2\sinh(2x)$, nicht $\sinh(2x)$.
• $(\tanh x)' = 1 + \tanh^2 x$ schreiben. Das ist die Ableitung des gewöhnlichen Tangens; beim $\tanh$ steht ein Minus.