Hyperbolischer Pythagoras

Studium

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1

$x$: reelle Zahl
$\cosh x$: Kosinus hyperbolicus von x
$\sinh x$: Sinus hyperbolicus von x

Für jedes reelle x ist cosh² x − sinh² x = 1, das hyperbolische Gegenstück zu sin² x + cos² x = 1.

Einheitshyperbel X² − Y² = 1 mit ihren Asymptoten; der Punkt (cosh x, sinh x) liegt auf ihr, für x = ln 2 ist er (5/4, 3/4)

Erklärung

Die Identität ist das Gegenstück zum trigonometrischen Pythagoras $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , aber mit Minuszeichen. Sie besagt, dass der Punkt $(\cosh x, \sinh x)$ für jedes $x$ auf der Einheitshyperbel $X^2 - Y^2 = 1$ liegt.

Daraus folgen weitere Formeln:

Teilt man durch $\cosh^2 x$ : $1 - \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$ .
Weil $\cosh x \geq 1 > 0$ ist, gilt $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x}$ ohne Fallunterscheidung beim Vorzeichen.
Doppelte Argumente: $\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x$ und $\sinh(2x) = 2 \sinh x \cosh x$ .

In der Integralrechnung nutzt man die Identität für die Substitution $x = \sinh t$ bei Wurzeln der Form $\sqrt{1 + x^2}$ , denn dann wird $\sqrt{1 + \sinh^2 t} = \cosh t$ .

Herleitung

Mit den Definitionen und den binomischen Formeln:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4}{4} = 1

Beispiele

Gegeben ist $\sinh x = \frac{3}{4}$ . Dann ist

\cosh x = \sqrt{1 + \tfrac{9}{16}} = \sqrt{\tfrac{25}{16}} = \tfrac{5}{4},\qquad \tanh x = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}

Zur Kontrolle: Das zugehörige $x$ ist $\ln 2$ , und tatsächlich ist $\sinh(\ln 2) = \frac{2 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{3}{4}$ und $\cosh(\ln 2) = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{4}$ .

Typische Fehler

Das Pluszeichen aus der Trigonometrie übernehmen: $\cosh^2 x + \sinh^2 x$ ist nicht $1$ , sondern $\cosh(2x)$ .
Bei $\cosh x = \pm\sqrt{1 + \sinh^2 x}$ die negative Lösung mitnehmen. $\cosh$ ist immer positiv.
$1 + \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$ schreiben. Richtig ist $1 - \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$ .

Hyperbolischer Pythagoras