Integralfunktion

Oberstufe

I_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \qquad I_a'(x) = f(x), \qquad I_a(a) = 0

Voraussetzung: $f$ $stetig auf einem Intervall, das$ $a$ $und$ $x$ $enthält$

$I_a(x)$: Integralfunktion von f zur unteren Grenze a
$a$: feste untere Grenze
$x$: variable obere Grenze, die Variable der Integralfunktion
$t$: Integrationsvariable
$f(t)$: Integrand

Die Integralfunktion ordnet jeder oberen Grenze x das Integral von a bis x zu; sie ist eine Stammfunktion mit Nullstelle bei a.

Die Integralfunktion I₁(x) zu f(t) = 2t ist die Fläche unter dem Graphen von der unteren Grenze a bis zur oberen Grenze x

Erklärung

Bei der Integralfunktion ist die untere Grenze $a$ fest, die obere Grenze ist die Variable. Jedem $x$ wird das orientierte Flächenstück zwischen Graph und x-Achse von $a$ bis $x$ zugeordnet. Die Integrationsvariable heißt deshalb $t$ , damit sie nicht mit der Grenze $x$ verwechselt wird.

Wichtige Eigenschaften:

$I_a(a) = 0$ : Eine Integralfunktion hat immer eine Nullstelle bei ihrer unteren Grenze.
$I_a'(x) = f(x)$ : Nach dem Hauptsatz ist jede Integralfunktion einer stetigen Funktion eine Stammfunktion von $f$ .
Liegt $x$ links von $a$ , ist $I_a(x) = -\int_x^a f(t)\,dt$ .
Zwei Integralfunktionen zu verschiedenen unteren Grenzen unterscheiden sich nur um eine Konstante.

Die Umkehrung gilt nicht: Nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion. Eine Stammfunktion ohne Nullstelle, wie $x^2 + 1$ zu $f(x) = 2x$ , lässt sich nicht als $I_a$ schreiben.

Beispiele

Für $f(t) = 2t$ und die untere Grenze $a = 1$ :

I_1(x) = \int_1^x 2t\,dt = \Big[t^2\Big]_1^x = x^2 - 1

Damit ist $I_1(3) = 8$ und $I_1(0) = -1$ . Der negative Wert entsteht, weil $0$ links von der unteren Grenze liegt: $I_1(0) = -\int_0^1 2t\,dt = -1$ . Nullstellen hat $I_1$ bei $x = 1$ und $x = -1$ .

Für $f(t) = \cos t$ und $a = 0$ :

I_0(x) = \int_0^x \cos t\,dt = \sin x - \sin 0 = \sin x

Zum Beispiel ist $I_0\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ .

Typische Fehler

Die untere Grenze nicht einsetzen: $\int_1^x 2t\,dt = x^2$ ist falsch, richtig ist $x^2 - 1$ .
Die Integrationsvariable und die obere Grenze gleich benennen. Das führt beim Ableiten und Einsetzen zu Verwechslungen.
Beim Ableiten den Hauptsatz übersehen und die Integralfunktion erst ausrechnen. Für stetiges $f$ ist $I_a'(x) = f(x)$ direkt ablesbar.

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