Restglied von Lagrange

Studium

R_n(x) = f(x) - T_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x - x_0)^{n+1}

Voraussetzung: $f$ $auf einem Intervall$ $I$ $mit$ $x_0,$ $x \in I \ (n+1)$ $-mal$ $differenzierbar$ $,$ $\xi$ $liegt zwischen$ $x_0$ $und$ $x$

$R_n(x)$: Restglied, also der Fehler des Taylorpolynoms an der Stelle x
$T_n(x)$: Taylorpolynom n-ten Grades von f um x₀
$f^{(n+1)}$: (n+1)-te Ableitung von f
$x_0$: Entwicklungsstelle
$x$: Stelle, an der genähert wird
$\xi$: unbekannte Zwischenstelle zwischen x₀ und x
$n$: Grad des Taylorpolynoms

Der Fehler des Taylorpolynoms vom Grad n ist die (n+1)-te Ableitung an einer Zwischenstelle mal (x − x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)!.

f(x) = eˣ und das Taylorpolynom T₂ um x₀ = 0; das Restglied R₂(x) ist der senkrechte Abstand zwischen beiden an der Stelle x

Erklärung

Das Taylorpolynom $T_n$ nähert $f$ in der Nähe von $x_0$ an. Das Restglied $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ beschreibt den Fehler. Die Lagrange-Form sieht aus wie der nächste Summand der Taylorreihe, nur dass die Ableitung an einer unbekannten Zwischenstelle $\xi$ statt an $x_0$ ausgewertet wird.

Praktisch nutzt man die Formel als Fehlerabschätzung: Gilt $\left|f^{(n+1)}(t)\right| \leq M$ für alle $t$ zwischen $x_0$ und $x$ , dann ist

|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}\,|x - x_0|^{n+1}

Für $n = 0$ ist die Formel genau der Mittelwertsatz: $f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0)$ .

Geht $R_n(x) \to 0$ für $n \to \infty$ , stellt die Taylorreihe die Funktion an der Stelle $x$ dar. So zeigt man z.B., dass die Reihen von $e^x$ , $\sin x$ und $\cos x$ für alle $x$ konvergieren.

Beispiele

$e^{0{,}5}$ mit dem Taylorpolynom 3. Grades um $x_0 = 0$ :

T_3(0{,}5) = 1 + 0{,}5 + \frac{0{,}5^2}{2} + \frac{0{,}5^3}{6} \approx 1{,}6458

Die vierte Ableitung ist $e^t$ , und für $t \in [0; 0{,}5]$ gilt $e^t \leq e^{0{,}5} < 2$ . Also ist

|R_3(0{,}5)| \leq \frac{2}{24} \cdot 0{,}5^4 \approx 0{,}0052

Der tatsächliche Fehler ist $e^{0{,}5} - T_3(0{,}5) \approx 1{,}6487 - 1{,}6458 \approx 0{,}0029$ , liegt also unter der Schranke.

$\sin 0{,}5$ mit $x - \frac{x^3}{6} \approx 0{,}4792$ : Dieses Polynom ist $T_3$ und zugleich $T_4$ , weil der $x^4$ -Term fehlt. Man darf deshalb das Restglied $R_4$ mit der 5. Ableitung $\cos$ verwenden: $|R_4| \leq \frac{0{,}5^5}{120} \approx 0{,}00026$ . Der echte Fehler ist etwa $0{,}000259$ .

Typische Fehler

$n!$ statt $(n+1)!$ im Nenner schreiben, oder den Exponenten $n$ statt $n + 1$ .
Die Ableitung an $x_0$ statt an der Zwischenstelle auswerten. Für eine sichere Schranke braucht man das Maximum von $\left|f^{(n+1)}\right|$ auf dem ganzen Intervall zwischen $x_0$ und $x$ .
Für $e^{0{,}5}$ die Schranke mit $e^0 = 1$ statt mit dem Maximum $e^{0{,}5}$ rechnen. Das ergäbe $0{,}0026$ und läge unter dem echten Fehler $0{,}0029$ .

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