Taylorpolynom

Erklärung

Das Taylorpolynom $T_n$ ist das Polynom vom Grad höchstens $n$, das an der Stelle $x_0$ denselben Funktionswert und dieselben ersten $n$ Ableitungen hat wie $f$. In der Nähe von $x_0$ ist es eine gute Näherung für $f$, mit wachsendem $n$ meist eine immer bessere.

• $T_0(x) = f(x_0)$ ist eine Konstante.
• $T_1(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ ist die Tangente.
• $T_2$ ist eine Parabel, die zusätzlich die Krümmung übernimmt.

Für $x_0 = 0$ spricht man auch vom Maclaurin-Polynom.

Den Fehler beschreibt das Restglied $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$. Ist $f$ auf dem Intervall zwischen $x_0$ und $x$ sogar $(n+1)$-mal differenzierbar, gibt es nach Lagrange ein $\xi$ zwischen $x_0$ und $x$ mit

Beispiele

$f(x) = e^x$ um $x_0 = 0$: Alle Ableitungen sind $e^0 = 1$.

Der echte Wert ist $e \approx 2{,}7183$, der Fehler also etwa $0{,}0516$. Das Restglied liefert vorab die Schranke $|R_3(1)| \leq \frac{e}{4!} < \frac{3}{24} = 0{,}125$.

$f(x) = \sin x$ um $x_0 = 0$: Die Ableitungen bei $0$ sind $0, 1, 0, -1, 0, 1, \ldots$

Zum Vergleich: $\sin(0{,}5) \approx 0{,}4794255$.

$f(x) = \sqrt{x}$ um $x_0 = 4$: $f(4) = 2$, $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, also $f'(4) = \frac{1}{4}$, und $f''(x) = -\frac{1}{4x^{3/2}}$, also $f''(4) = -\frac{1}{32}$.

Typische Fehler

• Die Fakultät vergessen. Der Koeffizient von $(x - x_0)^k$ ist $\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$, nicht $f^{(k)}(x_0)$. Im dritten Beispiel steht deshalb $-\frac{1}{64}$ und nicht $-\frac{1}{32}$.
• Die Ableitungen an der Stelle $x$ statt an $x_0$ auswerten. Die Koeffizienten sind feste Zahlen.
• Bei $x_0 \neq 0$ in Potenzen von $x$ statt von $(x - x_0)$ entwickeln.
• Das Taylorpolynom weit weg von $x_0$ verwenden. Dort kann die Näherung sehr schlecht sein.