Zwischenwertsatz

Erklärung

Der Zwischenwertsatz sagt: Der Graph einer stetigen Funktion auf einem Intervall hat keine Lücken in den Werten. Jeder Wert $y$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ wird an einer Stelle $\xi$ angenommen. Ob $f(a) < f(b)$ oder $f(a) > f(b)$ ist, spielt keine Rolle.

Der wichtigste Sonderfall ist der Nullstellensatz (Satz von Bolzano): Haben $f(a)$ und $f(b)$ verschiedene Vorzeichen, also $f(a) \cdot f(b) < 0$, dann hat $f$ in $(a, b)$ eine Nullstelle.

Der Satz sichert nur die Existenz. Er sagt nicht, wo die Stelle liegt und wie viele es gibt. Eine Näherung liefert das Bisektionsverfahren, das den Vorzeichenwechsel immer weiter einschachtelt.

Beide Voraussetzungen sind nötig: Ohne Stetigkeit oder auf einem zerrissenen Definitionsbereich kann der Wert übersprungen werden.

Beispiele

$f(x) = x^3 + x - 1$ auf $[0, 1]$: Es ist $f(0) = -1 < 0$ und $f(1) = 1 > 0$. Als Polynom ist $f$ stetig, also gibt es eine Nullstelle in $(0, 1)$. Bisektion liefert $\xi \approx 0{,}6823$.

Die Gleichung $\cos x = x$ hat eine Lösung in $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$: Für $g(x) = \cos x - x$ ist $g(0) = 1 > 0$ und $g\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} < 0$. Die Lösung liegt bei $\xi \approx 0{,}7391$.

Jedes Polynom mit ungeradem Grad hat mindestens eine reelle Nullstelle, denn für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$ gehen die Werte in entgegengesetzte Richtungen.

Typische Fehler

• Den Satz auf unstetige Funktionen anwenden. $f(x) = \frac{1}{x}$ hat $f(-1) = -1$ und $f(1) = 1$, aber keine Nullstelle. Bei $0$ ist $f$ nicht definiert.
• Aus gleichen Vorzeichen auf „keine Nullstelle“ schließen. $f(x) = x^2 - \frac{1}{4}$ hat $f(-1) = f(1) = 0{,}75$, aber die Nullstellen $\pm 0{,}5$.
• Aus dem Satz die Anzahl der Nullstellen ablesen. Er garantiert mindestens eine; ob es genau eine ist, zeigt man z.B. mit Monotonie oder dem Satz von Rolle.