Ableitung des Kosinus

Oberstufe

f(x) = \cos x \;\Rightarrow\; f'(x) = -\sin x

Voraussetzung: $x$ $im Bogenmaß$

$x$: Winkel im Bogenmaß, beliebige reelle Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist der negative Sinus, wenn der Winkel im Bogenmaß gemessen wird.

Erklärung

Der Kosinus ist eine um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschobene Sinuskurve. Entsprechend ist auch seine Ableitung eine verschobene Kosinuskurve, und das ist $-\sin x$ .

Leitet man mehrfach ab, wiederholen sich die Funktionen nach vier Schritten:

\sin x \;\to\; \cos x \;\to\; -\sin x \;\to\; -\cos x \;\to\; \sin x

Wie beim Sinus gilt die Regel nur für $x$ im Bogenmaß.

Herleitung

Mit $\cos x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ und der Kettenregel (innere Ableitung $1$ ):

(\cos x)' = \cos\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x

Beispiele

f(x) = 4\cos x \;\Rightarrow\; f'(x) = -4\sin x, \quad f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4

Mit der Kettenregel:

f(x) = \cos(x^2) \;\Rightarrow\; f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)

Typische Fehler

Das Minuszeichen vergessen: $(\cos x)' = \sin x$ ist falsch.
Das Minus bei der zweiten Ableitung doppelt setzen: $(-\sin x)' = -\cos x$ , nicht $\cos x$ .
Bei $\cos(x^2)$ die innere Ableitung $2x$ vergessen.

Ableitung des Kosinus