Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Oberstufe

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Voraussetzung: $f$ $stetig auf$ $[a, b],$ $F' = f$

$f$: Integrand, die Funktion, über die integriert wird
$F$: eine beliebige Stammfunktion von f
$a, b$: untere und obere Integrationsgrenze
$\int_a^b f(x)\,dx$: bestimmtes Integral von f zwischen a und b

Ein bestimmtes Integral berechnet man als Differenz der Werte einer Stammfunktion an der oberen und unteren Grenze.

Das Integral von f(x) = x² zwischen a = 1 und b = 3 ist die Fläche unter dem Graphen, F(3) − F(1) = 26/3

Erklärung

Der Hauptsatz verbindet Ableiten und Integrieren. Er besagt zweierlei:

Die Integralfunktion $I_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ ist eine Stammfunktion von $f$ , ihre Ableitung ist also $f$ .
Daraus folgt die Rechenregel oben: Für ein bestimmtes Integral braucht man keinen Grenzwert von Rechtecksummen, sondern nur eine Stammfunktion $F$ .

Man schreibt die Rechnung meist mit eckigen Klammern: $\left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$ .

Welche Stammfunktion man nimmt, ist egal: Eine Konstante $C$ wird bei $F(b)$ addiert und bei $F(a)$ wieder abgezogen.

Das Integral misst eine Flächenbilanz: Flächen oberhalb der $x$ -Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ. Voraussetzung ist, dass $f$ auf dem ganzen Intervall $[a, b]$ stetig ist.

Beispiele

\int_1^3 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \approx 8{,}67

Bei negativen Grenzen hilft es, Klammern zu setzen:

\int_{-1}^{2} (2x + 1) \, dx = \left[x^2 + x\right]_{-1}^{2} = (4 + 2) - \big((-1)^2 + (-1)\big) = 6 - 0 = 6

Eine Flächenbilanz von $0$ heißt nicht, dass keine Fläche da ist:

\int_{-1}^{1} x^3 \, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0

Die Fläche unter der $x$ -Achse hebt hier genau die Fläche darüber auf.

Typische Fehler

Grenzen vertauschen: $F(a) - F(b)$ liefert das Ergebnis mit falschem Vorzeichen, im ersten Beispiel $-\frac{26}{3}$ .
Das Integral als Fläche ausgeben, obwohl $f$ im Intervall das Vorzeichen wechselt. Für die Fläche muss man an den Nullstellen aufteilen.
Beim Einsetzen negativer Grenzen die Klammern vergessen: $(-1)^2 = 1$ , aber $-1^2 = -1$ .
Den Hauptsatz anwenden, obwohl $f$ im Intervall nicht definiert ist, z.B. $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx$ . Das ist ein uneigentliches Integral und divergiert.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung