Kettenregel

Erklärung

Eine verkettete Funktion entsteht, wenn man in eine Funktion $u$ (die äußere Funktion) statt $x$ einen ganzen Term $v(x)$ (die innere Funktion) einsetzt. Beispiel: In $\sin(2x)$ ist $u = \sin$ außen und $v(x) = 2x$ innen.

Beim Ableiten leitet man zuerst die äußere Funktion ab und lässt das Innere unverändert stehen. Dann multipliziert man mit der Ableitung des Inneren, der inneren Ableitung. Kurz: äußere Ableitung mal innere Ableitung.

Bei mehrfacher Verkettung multipliziert man die Ableitungen aller Schichten von außen nach innen.

Beispiele

$f(x) = (3x^2 + 1)^4$ mit außen $u(z) = z^4$ und innen $v(x) = 3x^2 + 1$:

$f(x) = \sin(2x)$ mit außen $\sin$ und innen $2x$:

$f(x) = e^{-0{,}5x^2}$ mit außen $e^z$ und innen $-0{,}5x^2$:

Typische Fehler

• Die innere Ableitung vergessen: $(\sin(2x))' = \cos(2x)$ ist falsch.
• Das Innere beim äußeren Ableiten mit verändern: Bei $(3x^2 + 1)^4$ bleibt die Klammer $(3x^2 + 1)$ in der äußeren Ableitung unverändert stehen.
• Innen und außen verwechseln: $(\sin x)^2$ hat die Ableitung $2 \sin x \cos x$, aber $\sin(x^2)$ hat die Ableitung $2x \cos(x^2)$.