Wichtige Grenzwerte

Studium

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,\quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1,\quad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

sin x / x und (eˣ − 1)/x gehen für x → 0 gegen 1, die n-te Wurzel aus n für n → ∞ ebenfalls.

Graph von sin x / x; bei x = 0 ist die Funktion nicht definiert, die Werte nähern sich aber 1

Erklärung

Diese Standardgrenzwerte tauchen beim Ableiten und bei Grenzwertaufgaben ständig auf:

$\frac{\sin x}{x} \to 1$ für $x \to 0$ liefert die Ableitung des Sinus und die Näherung $\sin x \approx x$ für kleine $x$ . Das gilt nur im Bogenmaß.
$\frac{e^x - 1}{x} \to 1$ für $x \to 0$ ist genau die Aussage, dass $e^x$ bei $0$ die Steigung $1$ hat. Gleichwertig ist $\frac{\ln(1 + x)}{x} \to 1$ .
$\sqrt[n]{n} \to 1$ für $n \to \infty$ wird beim Wurzelkriterium gebraucht. Ebenso gilt $\sqrt[n]{c} \to 1$ für jedes feste $c > 0$ .

Weitere wichtige Grenzwerte:

$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e$ und allgemeiner $\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \to e^x$ .
$\frac{x^k}{e^x} \to 0$ für $x \to \infty$ und jedes $k$ : Die Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenz.
$\frac{\ln x}{x^k} \to 0$ für $x \to \infty$ und jedes $k > 0$ : Der Logarithmus wächst langsamer als jede Potenz.
$\frac{q^n}{n!} \to 0$ für jedes feste $q$ .

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$ : Man erweitert mit $3$ und setzt $u = 3x$ :

\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ : Mit $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$ wird daraus

\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 \to \frac{1}{2}

$\sqrt[n]{n}$ nähert sich $1$ nur langsam: Für $n = 1000$ ist $\sqrt[1000]{1000} \approx 1{,}0069$ .

$\frac{x^3}{e^x}$ ist für $x = 100$ schon kleiner als $10^{-30}$ , obwohl $x^3 = 10^6$ ist.

$\frac{\sin x}{x}$ im Gradmaß auswerten. Für $x = 1°$ ist $\sin(1°) \approx 0{,}0175$ , der Quotient $\frac{\sin 1°}{1}$ ist also weit von $1$ entfernt.
$\frac{\sin x}{x} \to 1$ auch für $x \to \infty$ annehmen. Dort gilt $\frac{\sin x}{x} \to 0$ , weil der Zähler beschränkt ist.
$\sqrt[n]{n} \to \infty$ vermuten, weil $n$ wächst. Der Exponent $\frac{1}{n}$ geht schneller gegen $0$ : $\sqrt[n]{n} = e^{\ln(n)/n}$ und $\frac{\ln n}{n} \to 0$ .
Den Grenzwert $\frac{\sin(3x)}{x}$ mit $1$ angeben, ohne den Faktor $3$ auszugleichen.