Uneigentliches Integral

Oberstufe

\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx

Voraussetzung: $f$ $stetig auf$ $[a, \infty)$

$f$: Integrand
$a$: feste untere Grenze
$b$: variable obere Grenze, die gegen unendlich geht

Ein Integral mit unendlicher Grenze ist der Grenzwert gewöhnlicher Integrale, falls dieser existiert.

Fläche unter f(x) = 1/x² von a = 1 bis b; für b → ∞ strebt sie gegen 1

Erklärung

Ein uneigentliches Integral liegt vor, wenn eine Grenze unendlich ist oder der Integrand an einer Grenze nicht definiert ist (z.B. eine Polstelle). Man ersetzt die kritische Grenze durch eine Variable, rechnet das Integral wie gewohnt aus und bildet dann den Grenzwert.

Existiert der Grenzwert und ist endlich, heißt das Integral konvergent. Die unbegrenzte Fläche hat dann trotzdem einen endlichen Inhalt.
Sonst heißt es divergent.

Für eine Polstelle bei $a$ gilt entsprechend $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u \to a^+} \int_u^b f(x)\,dx$ .

Allgemein konvergiert $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx$ genau für $p > 1$ und hat dann den Wert $\frac{1}{p - 1}$ . Für $p \leq 1$ divergiert es. Zum Beispiel ist $p = 3$ konvergent mit Wert $\frac{1}{2}$ , $p = 1{,}5$ mit Wert $2$ . Bei der Polstelle in $0$ ist es umgekehrt: $\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx$ konvergiert genau für $p < 1$ und hat den Wert $\frac{1}{1 - p}$ .

Beispiele

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1

\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx = \lim_{b \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^b = \lim_{b \to \infty} \left(1 - e^{-b}\right) = 1

Das Integral von $\frac{1}{x}$ divergiert, obwohl der Graph sich der $x$ -Achse nähert:

\int_1^{b} \frac{1}{x}\,dx = \ln b \to \infty \quad \text{für } b \to \infty

Schon für $b = 1000$ ist $\ln 1000 \approx 6{,}91$ , und der Wert wächst unbeschränkt weiter.

Eine Polstelle an der unteren Grenze:

\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{u \to 0^+} \left[2\sqrt{x}\right]_u^1 = \lim_{u \to 0^+} \left(2 - 2\sqrt{u}\right) = 2

Typische Fehler

$\infty$ wie eine Zahl in die Stammfunktion einsetzen. Richtig ist, mit einer Variablen zu rechnen und den Grenzwert zu bilden.
Annehmen, dass das Integral konvergiert, weil $f(x) \to 0$ geht. Das Beispiel $\frac{1}{x}$ zeigt, dass das nicht reicht.
Eine Polstelle im Inneren übersehen: $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -2$ ist falsch. Der Integrand ist positiv, das Integral divergiert.

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