Rotationsvolumen

Erklärung

Dreht sich der Graph von $f$ zwischen $a$ und $b$ um die $x$-Achse, entsteht ein Rotationskörper. Jeder Schnitt senkrecht zur $x$-Achse ist ein Kreis mit dem Radius $|f(x)|$ und der Fläche $\pi \big(f(x)\big)^2$. Das Volumen ist die Summe all dieser Kreisflächen, also ihr Integral.

Weil $f(x)$ quadriert wird, spielt es keine Rolle, ob der Graph über oder unter der $x$-Achse liegt.

Liegt zwischen zwei Graphen $f$ und $g$ mit $0 \leq g \leq f$ ein Hohlraum, rechnet man $V = \pi \int_a^b \big(f(x)^2 - g(x)^2\big)\,dx$.

Herleitung

Man zerlegt den Körper in dünne Scheiben der Dicke $\Delta x$. Jede Scheibe ist näherungsweise ein Zylinder mit Volumen $\pi \big(f(x)\big)^2 \cdot \Delta x$. Summiert man die Scheiben und lässt $\Delta x$ gegen $0$ gehen, erhält man das Integral.

Beispiele

Kegel: Die Gerade $f(x) = \frac{r}{h}\,x$ rotiert zwischen $0$ und $h$ und erzeugt einen Kegel mit Radius $r$ und Höhe $h$:

Kugel: Der Halbkreis $f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$ rotiert zwischen $-r$ und $r$:

Der Graph von $f(x) = \sqrt{x}$ rotiert zwischen $0$ und $4$:

Typische Fehler

• Den Faktor $\pi$ vergessen.
• $f(x)$ nicht quadrieren und so eine Fläche statt eines Volumens berechnen.
• Beim Hohlkörper $\pi \int (f - g)^2\,dx$ rechnen. Richtig ist die Differenz der Quadrate $f^2 - g^2$.
• Die Formel für eine Rotation um die $y$-Achse verwenden. Für $f(x) = \sqrt{x}$ auf $[0, 4]$ ergibt sie $8\pi$ nur bei Drehung um die $x$-Achse. Bei Drehung der Fläche unter dem Graphen um die $y$-Achse gilt $V = 2\pi \int_0^4 x f(x)\,dx = \frac{128}{5}\pi \approx 80{,}42$.