Ableitung eines Parameterintegrals

Studium

\frac{d}{dt} \int_{a}^{b} f(x, t)\,dx = \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial t}(x, t)\,dx

Voraussetzung: $a, b$ $fest$ $,$ $f$ $und$ $\tfrac{\partial f}{\partial t}$ $stetig auf$ $[a, b] \times I,$ $t \in I$ $(offenes Intervall)$

$f(x, t)$: Integrand, abhängig von der Integrationsvariablen x und dem Parameter t
$x$: Integrationsvariable
$t$: Parameter, nach dem abgeleitet wird
$a, b$: feste Integrationsgrenzen
$\frac{\partial f}{\partial t}$: partielle Ableitung des Integranden nach t

Ein Integral mit festen Grenzen leitet man nach einem Parameter ab, indem man den Integranden nach diesem Parameter ableitet.

Erklärung

Hängt der Integrand von einem Parameter $t$ ab, ist das Integral eine Funktion von $t$ :

F(t) = \int_a^b f(x, t)\,dx

Die Leibnizregel erlaubt, Ableitung und Integral zu vertauschen: Man leitet unter dem Integralzeichen partiell nach $t$ ab. Dafür müssen $f$ und $\frac{\partial f}{\partial t}$ auf dem Rechteck $[a, b] \times I$ stetig sein, mit einem offenen Intervall $I$ für den Parameter (die Regel gilt dann an jeder Stelle $t \in I$ ). Bei uneigentlichen Integralen oder Integranden, die am Rand unstetig sind, braucht man stattdessen eine integrierbare Majorante $h(x)$ mit $\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x, t)\right| \leq h(x)$ für alle $t$ in einer Umgebung der betrachteten Stelle.

Hängen auch die Grenzen von $t$ ab (differenzierbar in $t$ ), kommen Randterme dazu:

\frac{d}{dt} \int_{a(t)}^{b(t)} f(x, t)\,dx = f\bigl(b(t), t\bigr)\, b'(t) - f\bigl(a(t), t\bigr)\, a'(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f}{\partial t}(x, t)\,dx

Ist $f$ unabhängig von $t$ und nur die obere Grenze variabel, bleibt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung übrig.

Als Rechentrick („Feynman-Trick“) führt man einen Parameter künstlich ein, leitet ab und erhält ein leichteres Integral.

Beispiele

$F(t) = \int_0^1 x^t\,dx = \frac{1}{t + 1}$ für $t > -1$ . Für $t > 0$ sind $x^t$ und $\frac{\partial}{\partial t} x^t = x^t \ln x$ auf $[0, 1] \times (0, \infty)$ stetig (mit dem Wert $0$ bei $x = 0$ ), die Regel ist also direkt anwendbar. Für $t > -1$ gilt das Ergebnis ebenfalls, dann mit der Majorante $x^{t_0}\,|\ln x|$ für $t \geq t_0 > -1$ . Ableiten nach $t$ :

\int_0^1 x^t \ln x\,dx = F'(t) = -\frac{1}{(t + 1)^2}

Für $t = 2$ ergibt sich ohne partielle Integration $\int_0^1 x^2 \ln x\,dx = -\frac{1}{9}$ .

Variable Grenze: $G(t) = \int_0^t x\,t\,dx$ . Mit der erweiterten Regel:

G'(t) = t \cdot t \cdot 1 + \int_0^t x\,dx = t^2 + \frac{t^2}{2} = \frac{3}{2}t^2

Zur Kontrolle: Direkt ist $G(t) = t \cdot \frac{t^2}{2} = \frac{t^3}{2}$ , und die Ableitung ist $\frac{3}{2}t^2$ .

Typische Fehler

Bei variablen Grenzen die Randterme vergessen. Im zweiten Beispiel käme sonst nur $\frac{t^2}{2}$ heraus.
Nach der Integrationsvariablen $x$ statt nach dem Parameter $t$ ableiten.
Die Regel ohne Prüfung bei uneigentlichen Integralen anwenden. Ohne stetige Ableitung auf dem Rechteck oder integrierbare Majorante kann das Vertauschen ein falsches Ergebnis liefern.

Ableitung eines Parameterintegrals