Faktor- und Summenregel der Integration

Faktor- und Summenregel der Integration

Oberstufe

\int_a^b \big(r \cdot f(x) + s \cdot g(x)\big)\,dx = r \int_a^b f(x)\,dx + s \int_a^b g(x)\,dx

Voraussetzung: $f, g$ $stetig auf$ $[a, b],$ $r, s \in \mathbb{R}$

$f, g$: Funktionen, die auf dem Intervall integriert werden
$r, s$: konstante reelle Faktoren
$a, b$: Integrationsgrenzen

Konstante Faktoren darf man vor das Integral ziehen, und eine Summe darf man summandenweise integrieren.

Erklärung

Das Integral ist linear. Das fasst zwei Regeln zusammen:

Faktorregel: Ein konstanter Faktor darf vor das Integral gezogen werden, $\int_a^b r \cdot f(x)\,dx = r \int_a^b f(x)\,dx$ .
Summenregel: Eine Summe (oder Differenz) darf man Summand für Summand integrieren.

Beide Regeln gelten genauso für unbestimmte Integrale. Zusammen mit der Potenzregel kann man damit jedes Polynom integrieren.

Für Produkte gibt es keine so einfache Regel. Dort braucht man z.B. die partielle Integration.

Beispiele

Ein Polynom wird gliedweise integriert:

\int (6x^2 + 4x - 5) \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C = 2x^3 + 2x^2 - 5x + C

Mit Grenzen:

\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx = 3 \int_0^2 x^2\,dx - 4 \int_0^2 x\,dx + \int_0^2 1\,dx = 3 \cdot \frac{8}{3} - 4 \cdot 2 + 2 = 2

Typische Fehler

Ein Produkt wie ein Produkt der Integrale behandeln: $\int_0^1 x \cdot x\,dx = \frac{1}{3}$ , aber $\int_0^1 x\,dx \cdot \int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .
Einen konstanten Summanden „wegfallen“ lassen wie beim Ableiten: $\int 5\,dx = 5x + C$ , nicht $0$ und nicht $5$ .
Einen Faktor vor das Integral ziehen, der von $x$ abhängt: $\int x \cdot e^x\,dx \neq x \int e^x\,dx$ .

Verwandte Formeln