Integral des natürlichen Logarithmus

Studium

\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C

Voraussetzung: $x > 0$

$x$: Integrationsvariable, positiv
$\ln$: natürlicher Logarithmus (zur Basis e)
$C$: Integrationskonstante

Eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus ist x · ln x − x.

Erklärung

Für $\ln x$ gibt es keine Grundregel wie für Potenzen. Man erhält die Stammfunktion mit einem Trick: Man schreibt $\ln x = 1 \cdot \ln x$ und integriert partiell.

Die Formel gilt nur für $x > 0$ , weil $\ln x$ nur dort definiert ist. Für Logarithmen zu einer anderen Basis nutzt man $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ und zieht den Faktor $\frac{1}{\ln b}$ vor das Integral.

Herleitung

Partielle Integration mit $u = \ln x$ und $v' = 1$ , also $u' = \frac{1}{x}$ und $v = x$ :

\int 1 \cdot \ln x\,dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x \ln x - \int 1\,dx = x \ln x - x + C

Probe durch Ableiten mit der Produktregel: $(x \ln x - x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x$ .

Beispiele

\int_1^e \ln x\,dx = \big[x \ln x - x\big]_1^e = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 0 + 1 = 1

\int_1^2 \ln x\,dx = (2 \ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2 \ln 2 - 1 \approx 0{,}3863

Bei $\int_0^1 \ln x\,dx$ ist $\ln x$ an der unteren Grenze nicht definiert, es ist ein uneigentliches Integral:

\int_0^1 \ln x\,dx = \lim_{u \to 0^+} \big[x \ln x - x\big]_u^1 = -1 - \lim_{u \to 0^+} (u \ln u - u) = -1

Dabei nutzt man $u \ln u \to 0$ für $u \to 0^+$ .

Typische Fehler

Ableitung und Stammfunktion verwechseln: $\frac{1}{x}$ ist die Ableitung von $\ln x$ , nicht die Stammfunktion.
Das $-x$ vergessen: $x \ln x$ allein hat die Ableitung $\ln x + 1$ .
Bis $0$ integrieren, als wäre $\ln 0$ definiert. $\int_0^1 \ln x\,dx$ ist ein uneigentliches Integral (Wert $-1$ , siehe oben).

Integral des natürlichen Logarithmus