Bedingungen für Extremstellen

Oberstufe

\begin{aligned} f'(x_0) = 0 \;\wedge\; f''(x_0) < 0 &\;\Rightarrow\; \text{Hochpunkt} \\ f'(x_0) = 0 \;\wedge\; f''(x_0) > 0 &\;\Rightarrow\; \text{Tiefpunkt} \end{aligned}

Voraussetzung: $f$ $zweimal$ $differenzierbar$ $,$ $x_0$ $im Inneren des Definitionsbereichs$

$x_0$: untersuchte Stelle
$f'(x_0)$: erste Ableitung an der Stelle x₀, Steigung des Graphen
$f''(x_0)$: zweite Ableitung an der Stelle x₀, beschreibt die Krümmung

Ist die erste Ableitung null und die zweite ungleich null, liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt vor.

Graph von f(x) = x³ − 3x mit waagerechten Tangenten im Hochpunkt H(−1 | 2) und im Tiefpunkt T(1 | −2)

Erklärung

An einem Hoch- oder Tiefpunkt im Inneren des Definitionsbereichs hat der Graph eine waagerechte Tangente. Daraus folgt die notwendige Bedingung

f'(x_0) = 0

Sie reicht allein nicht aus, denn auch ein Sattelpunkt hat eine waagerechte Tangente. Deshalb prüft man zusätzlich eine hinreichende Bedingung:

$f''(x_0) < 0$ : Der Graph ist rechtsgekrümmt, es liegt ein Hochpunkt (Maximum) vor.
$f''(x_0) > 0$ : Der Graph ist linksgekrümmt, es liegt ein Tiefpunkt (Minimum) vor.
$f''(x_0) = 0$ : Keine Aussage. Dann untersucht man den Vorzeichenwechsel von $f'$ an der Stelle $x_0$ : von $+$ nach $-$ ein Hochpunkt, von $-$ nach $+$ ein Tiefpunkt, ohne Wechsel kein Extremum.

Die Bedingungen mit $f''$ sind hinreichend, aber nicht notwendig: Bei $f(x) = x^4$ gibt es an der Stelle $0$ ein Minimum, obwohl $f''(0) = 0$ ist.

Die so gefundenen Extrema sind lokal. Für das globale Maximum oder Minimum vergleicht man sie noch mit den Funktionswerten an den Rändern des Definitionsbereichs.

Beispiele

$f(x) = x^3 - 3x$ mit $f'(x) = 3x^2 - 3$ und $f''(x) = 6x$ .

Notwendige Bedingung: $3x^2 - 3 = 0$ ergibt $x = -1$ und $x = 1$ .

Hinreichende Bedingung und $y$ -Werte:

f''(-1) = -6 < 0 \;\Rightarrow\; \text{Hochpunkt } H(-1 \mid 2)

f''(1) = 6 > 0 \;\Rightarrow\; \text{Tiefpunkt } T(1 \mid -2)

Bei $f(x) = x^4$ ist $f'(0) = 0$ und $f''(0) = 0$ . Die zweite Ableitung liefert keine Entscheidung. $f'(x) = 4x^3$ wechselt bei $0$ aber von $-$ nach $+$ , also ist $(0 \mid 0)$ ein Tiefpunkt.

Typische Fehler

Nur $f'(x_0) = 0$ prüfen. Bei $f(x) = x^3$ ist $f'(0) = 0$ , aber $(0 \mid 0)$ ist ein Sattelpunkt.
Aus $f''(x_0) = 0$ schließen, dass kein Extremum vorliegt. Gegenbeispiel: $x^4$ an der Stelle $0$ .
Hoch- und Tiefpunkt verwechseln. Negative zweite Ableitung bedeutet Hochpunkt.
Den $y$ -Wert vergessen. Ein Extrempunkt braucht beide Koordinaten, der $y$ -Wert kommt aus $f$ , nicht aus $f'$ .

Bedingungen für Extremstellen