Ableitung der e-Funktion

Oberstufe

f(x) = e^x \;\Rightarrow\; f'(x) = e^x

$e$: Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828
$x$: beliebige reelle Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Die natürliche Exponentialfunktion stimmt mit ihrer eigenen Ableitung überein.

Graph von f(x) = eˣ mit der Tangente an der Stelle 1; sie hat die Steigung e, so groß wie der Funktionswert e¹ = e

Erklärung

Die natürliche Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ hat eine besondere Eigenschaft: Ihre Ableitung ist wieder $e^x$ . An jeder Stelle ist die Steigung des Graphen so groß wie der Funktionswert.

Genau dadurch ist die Eulersche Zahl $e \approx 2{,}71828$ festgelegt. Sie ist die einzige Basis, bei der der Graph von $e^x$ die $y$ -Achse mit der Steigung $1$ schneidet.

Zusammen mit der Kettenregel gilt allgemeiner:

\left(e^{kx}\right)' = k \cdot e^{kx}

Für andere Basen $a$ kommt der Faktor $\ln a$ hinzu, siehe Ableitung von $a^x$ .

Beispiele

f(x) = 3e^{2x} \;\Rightarrow\; f'(x) = 3 \cdot 2 \cdot e^{2x} = 6e^{2x}, \quad f'(0) = 6

Mit der Produktregel:

f(x) = x \cdot e^x \;\Rightarrow\; f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1 + x)\,e^x

Typische Fehler

Die Potenzregel anwenden: $(e^x)' = x \cdot e^{x-1}$ ist falsch. Die Variable steht im Exponenten, nicht in der Basis.
Bei $e^{2x}$ die innere Ableitung vergessen: $(e^{2x})' = 2e^{2x}$ , nicht $e^{2x}$ .
Bei $e^{x^2}$ den Exponenten falsch behandeln: $(e^{x^2})' = 2x \cdot e^{x^2}$ , nicht $x^2 \cdot e^{x^2 - 1}$ .

Ableitung der e-Funktion