Integral des Kosinus

Oberstufe

\int \cos x \, dx = \sin x + C

Voraussetzung: $x$ $im Bogenmaß$

$x$: Integrationsvariable, Winkel im Bogenmaß
$C$: Integrationskonstante

Eine Stammfunktion des Kosinus ist der Sinus.

Erklärung

Die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$ . Deshalb ist $\sin x$ eine Stammfunktion des Kosinus. Anders als beim Sinus entsteht hier kein Minuszeichen.

Die Formel gilt nur, wenn $x$ im Bogenmaß gemessen wird.

Merkhilfe für die Vorzeichen: Beim Ableiten geht es im Kreis $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$ , beim Integrieren in umgekehrter Richtung.

Beispiele

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \left[\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 - 0 = 1

\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{6} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Von $0$ bis $\pi$ heben sich die Teilflächen auf:

\int_0^{\pi} \cos x \, dx = \sin \pi - \sin 0 = 0

Die Fläche ist dort $1 + |{-1}| = 2$ , weil man an der Nullstelle $\frac{\pi}{2}$ aufteilen muss.

Typische Fehler

Ein Minuszeichen ergänzen: $\int \cos x\,dx = -\sin x$ ist falsch. Das Minus gehört zum Integral des Sinus.
Ableitung und Stammfunktion verwechseln: Die Ableitung von $\cos x$ ist $-\sin x$ , die Stammfunktion ist $\sin x$ .
Bei $\cos(3x)$ den Faktor $\frac{1}{3}$ vergessen: $\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C$ .

Integral des Kosinus