Differentialquotient

Oberstufe

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Voraussetzung: $f$ $in einer Umgebung von$ $x_0$ $definiert$ $,$ $Grenzwert existiert$

$f'(x_0)$: Ableitung von f an der Stelle x₀, die Steigung des Graphen dort
$f$: die betrachtete Funktion
$x_0$: Stelle, an der abgeleitet wird
$h$: Abstand zur zweiten Stelle, h ≠ 0
$\lim_{h \to 0}$: Grenzwert für h gegen null

Die Ableitung an einer Stelle ist der Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn der zweite Punkt immer näher rückt.

Graph von f(x) = x² mit der Sekante durch die Stellen x₀ = 3 und x₀ + h = 4 (gestrichelt) und der Tangente in x₀ mit der Steigung f′(3) = 6

Erklärung

Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für $h \to 0$ . Aus der Sekantensteigung wird so die Tangentensteigung, aus der mittleren die momentane Änderungsrate.

Existiert der Grenzwert, heißt $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar, und $f'(x_0)$ ist die Ableitung an dieser Stelle. Ordnet man jeder Stelle ihre Ableitung zu, erhält man die Ableitungsfunktion $f'$ .

Gleichwertig ist die Schreibweise mit $x \to x_0$ :

f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

Man setzt $h = 0$ nie direkt ein, das ergäbe $\frac{0}{0}$ . Erst vereinfacht man den Bruch so weit, dass $h$ nicht mehr im Nenner steht.

Beispiele

Für $f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = 3$ :

\frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = 6 + h \;\xrightarrow{h \to 0}\; 6

Also ist $f'(3) = 6$ .

Für $f(x) = \frac{1}{x}$ an der Stelle $x_0 = 2$ :

\frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2 - (2+h)}{2(2+h) \cdot h} = -\frac{1}{2(2+h)} \;\xrightarrow{h \to 0}\; -\frac{1}{4}

Nicht differenzierbar ist $f(x) = |x|$ an der Stelle $0$ . Der Quotient $\frac{|h|}{h}$ ist für $h > 0$ gleich $1$ und für $h < 0$ gleich $-1$ . Es gibt keinen gemeinsamen Grenzwert, der Graph hat dort einen Knick.

Typische Fehler

$h = 0$ sofort einsetzen. Erst kürzen, dann den Grenzwert bilden.
$f(x_0 + h)$ falsch bilden: Für $f(x) = x^2$ ist $f(3+h) = (3+h)^2 = 9 + 6h + h^2$ , nicht $9 + h^2$ und nicht $9 + h$ .
Annehmen, jede stetige Funktion sei differenzierbar. Bei Knicken wie bei $|x|$ existiert der Grenzwert nicht.

Differentialquotient