Normalengleichung

Oberstufe

n(x) = -\frac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0)

Voraussetzung: $f$ $differenzierbar in$ $x_0,$ $f'(x_0) \neq 0$

$n(x)$: Funktionsterm der Normalen
$x_0$: Stelle des Kurvenpunkts
$f(x_0)$: y-Wert des Kurvenpunkts
$f'(x_0)$: Steigung der Tangente im Kurvenpunkt

Die Normale steht im Kurvenpunkt senkrecht auf der Tangente, ihre Steigung ist minus eins durch f'(x₀).

Normale n und Tangente t an f(x) = x² im Punkt (1 | 1); die Normale steht senkrecht auf der Tangente

Erklärung

Die Normale geht durch denselben Kurvenpunkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ wie die Tangente, steht aber senkrecht auf ihr. Für zwei senkrechte Geraden ist das Produkt der Steigungen $-1$ . Deshalb hat die Normale die Steigung

m_n = -\frac{1}{f'(x_0)}

Ist $f'(x_0) = 0$ , ist die Tangente waagerecht. Die Normale ist dann die senkrechte Gerade $x = x_0$ , die sich nicht als Funktion schreiben lässt.

Beispiele

$f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = 1$ : $f(1) = 1$ , $f'(1) = 2$ , also $m_n = -\frac{1}{2}$ .

n(x) = -\frac{1}{2} \cdot (x - 1) + 1 = -0{,}5x + 1{,}5

$f(x) = x^3 - 2x$ an der Stelle $x_0 = 2$ : $f(2) = 4$ , $f'(2) = 10$ , also $m_n = -\frac{1}{10}$ .

n(x) = -\frac{1}{10} \cdot (x - 2) + 4 = -0{,}1x + 4{,}2

Typische Fehler

Nur das Vorzeichen umdrehen: Die Steigung der Normalen ist $-\frac{1}{f'(x_0)}$ , nicht $-f'(x_0)$ .
Nur den Kehrwert bilden und das Minus vergessen.
Die Formel bei $f'(x_0) = 0$ anwenden. Dann ist die Normale die Gerade $x = x_0$ .

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