Stirling-Formel

Erklärung

Die Stirling-Formel nähert die Fakultät durch elementare Funktionen an. Das Zeichen $\sim$ bedeutet:

Der relative Fehler geht also gegen $0$. Er beträgt ungefähr $\frac{1}{12n}$, die Näherung ist immer etwas zu klein. Mit dem Korrekturfaktor $1 + \frac{1}{12n}$ wird sie deutlich genauer.

Logarithmiert erhält man $\ln n! \approx n \ln n - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n)$. Die grobe Form $\ln n! \approx n \ln n - n$ genügt oft in der Statistik und der statistischen Physik, wenn es nur auf die Größenordnung ankommt.

Die Formel ist nützlich, um Grenzwerte mit Fakultäten zu bestimmen, Binomialkoeffizienten für große $n$ abzuschätzen und Fakultäten zu berechnen, die den Taschenrechner überfordern.

Beispiele

Für $n = 10$ ist $10! = 3\,628\,800$. Stirling liefert

Der relative Fehler ist etwa $0{,}84\,\%$, also nahe bei $\frac{1}{120}$. Mit dem Korrekturfaktor $1 + \frac{1}{120}$ ergibt sich $3\,628\,685$, nur noch $115$ daneben.

Wie viele Stellen hat $100!$? Logarithmiert zur Basis $10$:

Also hat $100!$ genau $158$ Stellen.

Typische Fehler

• Kleinen absoluten Fehler erwarten. Der Quotient geht gegen $1$, die Differenz wächst aber: Bei $n = 20$ liegt die Näherung um etwa $10^{16}$ daneben.
• Den Faktor $\sqrt{2\pi n}$ weglassen. Dann ist schon der Quotient falsch: $(n/e)^n$ allein ist um den Faktor $\sqrt{2\pi n}$ zu klein.
• Die grobe Form $\ln n! \approx n\ln n - n$ für genaue Werte nutzen. Bei $n = 100$ ergibt sie $360{,}5$ statt $\ln 100! \approx 363{,}7$.