Ableitung des Sinus

Oberstufe

f(x) = \sin x \;\Rightarrow\; f'(x) = \cos x

Voraussetzung: $x$ $im Bogenmaß$

$x$: Winkel im Bogenmaß, beliebige reelle Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion, wenn der Winkel im Bogenmaß gemessen wird.

Graph von sin (blau) und seiner Ableitung cos (grau); wo der Sinus einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, ist cos x = 0, im Ursprung hat der Sinus die Steigung 1

Erklärung

Die Steigung der Sinuskurve an einer Stelle $x$ ist genau der Kosinus an dieser Stelle. Wo der Sinus einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, ist $\cos x = 0$ . Wo der Sinus die $x$ -Achse schneidet, ist die Steigung $1$ oder $-1$ .

Die Regel gilt nur, wenn $x$ im Bogenmaß gemessen wird. Das ist in der Analysis immer der Fall. Taschenrechner müssen dafür auf RAD stehen.

Herleitung

Mit dem Additionstheorem lautet der Differenzenquotient

\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}

Für $h \to 0$ gilt $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$ und $\frac{\sin h}{h} \to 1$ . Übrig bleibt $\cos x$ .

Beispiele

Im Ursprung hat die Sinuskurve die Steigung $\cos 0 = 1$ . Sie verläuft dort also wie die Gerade $y = x$ .

Mit Faktor- und Kettenregel:

f(x) = 3\sin(2x) \;\Rightarrow\; f'(x) = 3 \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 6\cos(2x)

Typische Fehler

Ein Minuszeichen ergänzen: $(\sin x)' = -\cos x$ ist falsch. Das Minus gehört zur Ableitung des Kosinus.
Mit Gradmaß rechnen. Für $\sin(x^\circ)$ kommt der Faktor $\frac{\pi}{180} \approx 0{,}0175$ hinzu.
Bei $\sin(2x)$ die innere Ableitung $2$ vergessen.

Ableitung des Sinus