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Integral der e-Funktion

Integral der e-Funktion

Oberstufe
∫ex dx=ex+C\int e^x \, dx = e^x + C
ee
Eulersche Zahl, ungefähr 2,71828
xx
Integrationsvariable
CC
Integrationskonstante

Die e-Funktion ist ihre eigene Stammfunktion, man muss nur die Integrationskonstante ergänzen.

Erklärung

Die natürliche Exponentialfunktion f(x)=exf(x) = e^x ist ihre eigene Ableitung. Deshalb ist sie auch ihre eigene Stammfunktion. Beim unbestimmten Integral kommt wie immer die Integrationskonstante CC dazu.

Steht im Exponenten ein linearer Term kxkx mit k≠0k \neq 0, teilt man durch dessen Faktor (lineare Substitution):

∫ekx dx=1k ekx+C\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}\,e^{kx} + C

Beispiele

∫01ex dx=[ex]01=e−e0=e−1≈1,7183\int_0^1 e^x \, dx = \left[e^x\right]_0^1 = e - e^0 = e - 1 \approx 1{,}7183

Mit konstantem Faktor:

∫023ex dx=3[ex]02=3 (e2−1)≈19,1672\int_0^2 3e^x \, dx = 3 \left[e^x\right]_0^2 = 3\,(e^2 - 1) \approx 19{,}1672

Mit linearem Exponenten:

∫01e2x dx=[12 e2x]01=e2−12≈3,1945\int_0^1 e^{2x} \, dx = \left[\frac{1}{2}\,e^{2x}\right]_0^1 = \frac{e^2 - 1}{2} \approx 3{,}1945

Typische Fehler

  • Die Potenzregel auf exe^x anwenden: ∫ex dx=ex+1x+1\int e^x\,dx = \frac{e^{x+1}}{x+1} ist falsch. Die Variable steht im Exponenten, nicht in der Basis.
  • Beim Einsetzen der unteren Grenze e0=0e^0 = 0 rechnen. Richtig ist e0=1e^0 = 1, also ∫01ex dx=e−1\int_0^1 e^x\,dx = e - 1 und nicht ee.
  • Bei e2xe^{2x} den Faktor 12\frac{1}{2} vergessen. Leitet man e2xe^{2x} ab, entsteht 2e2x2e^{2x}, also passt e2xe^{2x} als Stammfunktion nicht.

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