Produktregel

Erklärung

Ist eine Funktion das Produkt zweier Funktionen $u$ und $v$, reicht es nicht, beide Faktoren einzeln abzuleiten. Man leitet abwechselnd einen Faktor ab und lässt den anderen stehen, dann addiert man beide Teile. Kurzform: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Ist einer der Faktoren eine Konstante, genügt die Faktorregel. Die Produktregel braucht man, wenn beide Faktoren von $x$ abhängen.

Herleitung

Im Differenzenquotienten ergänzt man $-u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h)$, also eine Null:

Für $h \to 0$ geht der erste Bruch gegen $u'(x)$, $v(x+h)$ gegen $v(x)$ und der zweite Bruch gegen $v'(x)$.

Beispiele

$f(x) = x^2 \cdot \sin x$ mit $u = x^2$, $v = \sin x$:

$f(x) = (2x + 1) \cdot e^x$ mit $u = 2x + 1$, $v = e^x$:

Kontrolle an einem Fall, den man auch anders rechnen kann: $x^3 \cdot x^2 = x^5$.

Typische Fehler

• Die Faktoren einzeln ableiten und multiplizieren: $(u \cdot v)' = u' \cdot v'$ ist falsch. Bei $x^3 \cdot x^2$ ergäbe das $3x^2 \cdot 2x = 6x^3$ statt $5x^4$.
• Einen der beiden Summanden vergessen.
• Am Ende nicht zusammenfassen. Bei e-Funktionen lohnt es sich, $e^x$ auszuklammern, z.B. für die Nullstellen der Ableitung.