Bogenlänge eines Graphen

Studium

L = \int_a^b \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx

Voraussetzung: $f$ $stetig differenzierbar auf$ $[a, b],$ $a < b$

$L$: Länge des Graphen zwischen x = a und x = b
$f'$: Ableitung der Funktion f
$a, b$: Grenzen des Abschnitts

Die Länge eines Funktionsgraphen ist das Integral über die Wurzel aus eins plus Ableitung zum Quadrat.

Bogenlänge L des Graphen von f(x) = ⅔ x√x zwischen a = 0 und b = 3, gestrichelt die kürzere Sehne

Erklärung

Die Formel berechnet, wie lang der Graph einer Funktion zwischen $x = a$ und $x = b$ ist, so als würde man einen Faden auf die Kurve legen und danach gerade ziehen.

Der Integrand $\sqrt{1 + (f')^2}$ ist immer mindestens $1$ . Deshalb ist die Bogenlänge nie kleiner als $b - a$ , und gleich $b - a$ nur bei einer waagrechten Geraden.

Nur für wenige Funktionen lässt sich das Integral geschlossen berechnen, weil die Wurzel meist keine elementare Stammfunktion hat. Sonst rechnet man numerisch.

Herleitung

Man nähert den Graphen durch kurze Strecken an. Ein Stück mit der Breite $\Delta x$ steigt um $\Delta y \approx f'(x)\,\Delta x$ . Nach dem Satz des Pythagoras ist es

\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \approx \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,\Delta x

lang. Summiert man alle Stücke und lässt $\Delta x$ gegen $0$ gehen, entsteht das Integral.

Beispiele

Für die Gerade $f(x) = \frac{3}{4}x$ zwischen $0$ und $4$ ist $f'(x) = \frac{3}{4}$ :

L = \int_0^4 \sqrt{1 + \frac{9}{16}}\,dx = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5

Das passt zum Satz des Pythagoras: Die Strecke von $(0 \mid 0)$ nach $(4 \mid 3)$ ist $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ lang.

Für $f(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ ist $f'(x) = \sqrt{x}$ , also $1 + (f'(x))^2 = 1 + x$ :

L = \int_0^3 \sqrt{1 + x}\,dx = \left[\frac{2}{3}(1 + x)^{\frac{3}{2}}\right]_0^3 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3} \approx 4{,}67

Für die Kettenlinie $f(x) = \cosh x$ (Kosinus hyperbolicus, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ ) gilt mit dem Sinus hyperbolicus $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ die Ableitung $f'(x) = \sinh x$ und $1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$ :

L = \int_0^1 \cosh x\,dx = \sinh 1 \approx 1{,}1752

Typische Fehler

$f$ statt $f'$ in die Formel einsetzen.
Die Wurzel auseinanderziehen: $\sqrt{1 + (f')^2} \neq 1 + f'$ .
Ein Ergebnis kleiner als der direkte Abstand der Endpunkte nicht als Fehler erkennen. Die Bogenlänge ist immer mindestens so groß wie die Sehne.

Bogenlänge eines Graphen