Mittlere Änderungsrate

Oberstufe

\bar{m}_{[a,\,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Voraussetzung: $a \neq b,$ $f$ $an den Stellen$ $a$ $und$ $b$ $definiert$

$\bar{m}_{[a,\,b]}$: mittlere Änderungsrate von f auf dem Intervall von a bis b
$f(a), f(b)$: Bestand am Anfang und am Ende des Intervalls
$a, b$: Anfang und Ende des Intervalls, z.B. zwei Zeitpunkte

Die mittlere Änderungsrate gibt an, um wie viel sich eine Größe im Durchschnitt pro Einheit der Eingangsgröße ändert.

Sekante an h(t) = 0,5t² + 2 zwischen t = 2 und t = 6 mit Steigungsdreieck, mittlere Änderungsrate 16/4 = 4

Erklärung

Die mittlere Änderungsrate beschreibt, wie stark sich eine Größe auf einem Intervall im Durchschnitt ändert: Gesamtänderung $f(b) - f(a)$ geteilt durch die Länge $b - a$ des Intervalls. Rechnerisch ist sie der Differenzenquotient, geometrisch die Steigung der Sekante durch die Graphpunkte bei $a$ und $b$ .

In Sachaufgaben kommt es vor allem auf die Deutung an:

Die Einheit ist „Einheit von $f$ pro Einheit von $x$ ", z.B. Liter pro Minute oder Euro pro Stück.
Das Vorzeichen sagt, ob die Größe im Mittel zu- oder abnimmt.
Sie sagt nichts darüber, wie die Änderung innerhalb des Intervalls verläuft. Dafür braucht man die momentane Änderungsrate $f'(x)$ .

Ist $f$ stetig differenzierbar, gilt $f(b) - f(a) = \int_a^b f'(t)\,dt$ . Die mittlere Änderungsrate ist also der Mittelwert der momentanen Änderungsrate auf $[a, b]$ . Nach dem Mittelwertsatz wird sie an mindestens einer Stelle im Intervall auch als momentane Rate angenommen.

Beispiele

In einem Tank sind zu Beginn $120$ Liter, nach $15$ Minuten $300$ Liter:

\bar{m} = \frac{300\,\text{L} - 120\,\text{L}}{15\,\text{min} - 0\,\text{min}} = 12\,\frac{\text{L}}{\text{min}}

Im Mittel fließen $12$ Liter pro Minute zu, auch wenn der Zufluss zwischendurch schwankt.

Die Höhe einer Pflanze ist $h(t) = 0{,}5t^2 + 2$ (in cm, $t$ in Wochen). Von Woche $2$ bis Woche $6$ :

\bar{m}_{[2,\,6]} = \frac{h(6) - h(2)}{6 - 2} = \frac{20 - 4}{4} = 4\,\frac{\text{cm}}{\text{Woche}}

Die momentane Wachstumsrate $h'(t) = t$ ist bei $t = 4$ ebenfalls $4$ . Die Gesamtänderung ergibt sich auch als $\int_2^6 t\,dt = 18 - 2 = 16$ cm.

Die Temperatur fällt in $4$ Stunden von 18 °C auf 6 °C. Die mittlere Änderungsrate ist $\frac{6 - 18}{4} = -3$ Grad pro Stunde, das Minus zeigt die Abnahme.

Typische Fehler

Nur die Gesamtänderung $f(b) - f(a)$ angeben und nicht durch die Intervalllänge teilen.
Die Einheit weglassen oder falsch bilden, z.B. „Liter" statt „Liter pro Minute".
Mittlere und momentane Änderungsrate verwechseln. „Wie schnell wächst die Pflanze in Woche 4?" fragt nach $h'(4)$ , „im Durchschnitt zwischen Woche 2 und 6" nach dem Differenzenquotienten.
Oben und unten in verschiedener Reihenfolge subtrahieren. Das dreht das Vorzeichen um.

Mittlere Änderungsrate