Extremwertaufgabe

Oberstufe

\begin{gathered} Z(x) = H\big(x,\ y(x)\big) \\ Z'(x_0) = 0 \;\wedge\; Z''(x_0) < 0 \\ \Rightarrow\; \text{lokales Maximum bei } x_0 \end{gathered}

Voraussetzung: $Z$ $zweimal$ $differenzierbar$ $,$ $x_0$ $im Inneren von$ $D_Z,$ $Randwerte zusätzlich prüfen$

$H$: Hauptbedingung, Formel für die Größe, die extremal werden soll
$y(x)$: aus der Nebenbedingung durch x ausgedrückte zweite Variable
$Z(x)$: Zielfunktion, hängt nur noch von einer Variablen ab
$x_0$: Kandidat für die Extremstelle
$D_Z$: sinnvoller Definitionsbereich der Zielfunktion

Man stellt eine Zielfunktion aus Haupt- und Nebenbedingung auf und bestimmt ihr Maximum oder Minimum mit der Ableitung.

Zielfunktion A(x) = 10x − x² auf dem Definitionsbereich 0 < x < 10 mit dem Maximum A(5) = 25

Erklärung

Bei einer Extremwertaufgabe soll eine Größe möglichst groß oder möglichst klein werden, z.B. eine Fläche, ein Volumen oder Kosten. Ablauf:

Hauptbedingung aufstellen: die Formel für die Größe, die extremal werden soll. Sie hängt meist von zwei Variablen ab.
Nebenbedingung aufstellen: der Zusammenhang zwischen den Variablen, z.B. ein fester Umfang. Nach einer Variablen auflösen.
Zielfunktion bilden: die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen. Jetzt hängt alles nur noch von $x$ ab.
Definitionsbereich festlegen: welche Werte für $x$ in der Aufgabe sinnvoll sind, z.B. positive Längen.
Extremstellen bestimmen: $Z'(x) = 0$ lösen und mit $Z''$ prüfen.
Randwerte vergleichen: Das globale Extremum kann auch am Rand des Definitionsbereichs liegen.
Antwort im Sachzusammenhang mit Einheiten formulieren, auch die zweite Variable angeben.

Für ein Minimum gilt die Bedingung entsprechend mit $Z''(x_0) > 0$ .

Beispiele

Ein Rechteck hat den Umfang $20\,\text{cm}$ . Wann ist sein Flächeninhalt am größten?

Hauptbedingung: $A = x \cdot y$
Nebenbedingung: $2x + 2y = 20$ , also $y = 10 - x$
Zielfunktion: $A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$ mit $0 < x < 10$

$A'(x) = 10 - 2x = 0$ ergibt $x = 5$ , und $A''(5) = -2 < 0$ . Mit $y = 5$ ist das Rechteck ein Quadrat mit $A(5) = 25\,\text{cm}^2$ .

Aus einem quadratischen Blech mit $12\,\text{cm}$ Seitenlänge schneidet man an den Ecken Quadrate mit der Seitenlänge $x$ aus und biegt die Ränder zu einer offenen Schachtel hoch. Ihr Volumen für $0 < x < 6$ ist

\begin{aligned} V(x) &= x \cdot (12 - 2x)^2 \\ &= 4x^3 - 48x^2 + 144x \end{aligned}

$V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x - 2)(x - 6)$ . Im Definitionsbereich liegt nur $x = 2$ . Mit $V''(x) = 24x - 96$ ist $V''(2) = -48 < 0$ , also ein Maximum mit $V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128\,\text{cm}^3$ . An den Rändern ist das Volumen $0$ .

Typische Fehler

Die Hauptbedingung ableiten, solange sie noch zwei Variablen enthält. Erst die Nebenbedingung einsetzen.
Den Definitionsbereich vergessen und dadurch Lösungen wie $x = 6$ übernehmen, bei denen die Schachtel gar nicht existiert.
Nur $Z'(x) = 0$ lösen, ohne zu prüfen, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt, und ohne die Randwerte zu vergleichen.
Die Antwort unvollständig geben: Gefragt sind meist die Maße und der extremale Wert.

Extremwertaufgabe